M3 · Mechanics 3

力学 3：弾性紐、調和振動、円運動および重心

力学 3 (M3、試験用紙 WME03/01、1時間30分、75点、初回試験 6月2020) 最終の力学単元である。P1–P4、M1およびM2は既習とする。全試験範囲を含む。 記号形式で解答する。答えは$m$、$g$、$a$、$L$、$r$のままとし、正確な代数計算が得点となる。 この参考書は、変数$x$としての加速度、弾性紐およびばね、 可変力、単純調和振動、水平および垂直方向の円運動、および 積分による重心について解説する。

M3で必須の知識（ bookletには記載なし）：

変数xの関数としての加速度を持つ運動学

加速度が変位に依存する場合、$\tfrac{dv}{dt}$を $v\dfrac{dv}{dx}$に置き換え、$x$で積分する。時間に依存する場合は、 $\tfrac{dx}{dt}$を分離する。各定数は初期条件によって決まるため、 代入前にその条件を明記すること。

** worked example (WME03 6月2025 Q3).** $a = 4x - 2$かつ$t = 1$のとき、$x = 0$, $v = 1$: (a) $v\tfrac{dv}{dx} = 4x - 2$が$\tfrac12v^2 = 2x^2 - 2x + \tfrac12$を与えるので、 $v^2 = (2x-1)^2$および（正の方向に）$v = 1 - 2x$。(b) $v = 1 - 2x$を代入すると $a = \tfrac{dv}{dt}$から$\tfrac{dv}{dt} = -2v$（または別個の $\tfrac{dx}{dt} = 1 - 2x$）が得られる：$\ln v = -2t + C$に$v(1) = 1$を与えると$v = e^{2-2t}$となる。

弾性紐とスプリング

フークの法則：自然長$L$および 弾性係数$\lambda$を持つ軽い弾性紐（またはスプリング）を$e$だけ伸長させると、張力$T = \tfrac{\lambda e}{L}$が発生する—— 両端で内向きに引く張力。蓄えられている Elastic energy（弾性エネルギー） は、 $\tfrac{\lambda e^2}{2L}$。仕事-エネルギー原理の問題では、これまでにComparer、 重力および弾性、および抵抗に対する仕事を含む。

** worked example — 2部構成紐の中点（WME03 June 2025 Q4）** 紐に $\lambda = mg$、自然長$3a$、AとBの間に固定され（$AB = 4a$水平）、Pは中点から C（ABの中点）から下方へ投影され、$\sqrt{3ag/2}$で、 Dに至り、$CD = \tfrac32a$となる。各半分の紐の自然長は$\tfrac{3a}2$である： Cでは半分の長さが$2a$（伸長$\tfrac a2$）、Dでは $\sqrt{(2a)^2 + (\tfrac32a)^2} = \tfrac{5a}2$ ; 二乗逆比重力は $a$ として現れる。 $\dfrac{mg}{2\cdot\frac{3a}2}\big(a^2 - \tfrac{a^2}4\big) = \dfrac{mg}{3a}\cdot\tfrac{3a^2}4 = \tfrac{mga}4$；両方合わせて：$\tfrac12mga$ ✓。次に抵抗 $\tfrac15mg$が$\tfrac{3a}2$の距離で働き、重力エネルギーの減少$mg\cdot\tfrac{3a}2$がある：

したがって $V = \sqrt{29ag/10}$ 。

** worked example — ヒンジ付き棒（WME03 June 2025 Q1）** 均質の棒AB（質量$m$、 長さ$2a$) Aでヒンジ接続された棒；弾性紐($\lambda = 2mg$、自然長$L$)は BからCまで垂直に伸びており、ACは水平でBC$= 1.2a$ — 幾何学的配置によりBは Aから水平に$1.6a$、その下に$1.2a$の位置にあり（3–4–5三角形）、棒の中点は は $0.8a$、Aを通る鉛直線からの距離である。A周りのモーメント：$T\cdot 1.6a = mg\cdot 0.8a$、したがって $T = \tfrac12mg$となる。逆二乗重力は$\tfrac12mg = \tfrac{2mg}{L}(1.2a - L)$として現れる。 $L = 0.96a = \tfrac{24}{25}a$.

変力と調和振動

標準結果（引用可）：周期$F(x)$、$m\dfrac{dv}{dt} = F$、 $mv\dfrac{dv}{dx} = F(x)$；逆二乗重力法則は $F = \dfrac{k}{x^2}$ の形で現れる。 調和振動（SHM）とは $\ddot x = -\omega^2x$ を意味する — 符号がその証拠である。 標準結果（引用可）：周期 $\tfrac{2\pi}{\omega}$、$v^2 = \omega^2(a^2 - x^2)$ 端から $x = a\cos\omega t$、中心から $a\sin\omega t$。2つの弾性線の間にある粒子は、合力が変位に比例する限り常にSHMを行う。 弾性紐の振動は、合力が変位に比例する限り常にSHMとなる 平衡点からである。

** worked example — 2本の弾性線間におけるSHM (WME03 June 2025 Q7) ** PからAへの線 ($\lambda = mg$、自然長 $3L$) およびBへ ($\lambda = 2mg$、自然長 $2L$)、$AB = 7L$; Eで平衡状態であり $AE = 4.5L$ （各張力は $= \tfrac{mg}2$ — Eが したがってPはSHMで動き、$x$ となり、周期は 伸長する：

したがってPはSHMで動き、$\omega^2 = \tfrac{4g}{3L}$ 、周期は $\tfrac{2\pi}{\omega} = \pi\sqrt{\tfrac{3L}g}$. Cから$AC = 5L$で解放され、振幅が$\tfrac L2$: $v_{max} = \tfrac L2\omega = \sqrt{\tfrac{gL}3}$。その時間は $|v| \le \sqrt{\tfrac{gL}{12}} = \tfrac{v_{max}}2$ : 端点から $x = \tfrac L2\cos\omega t$ が離れ、$v \propto \sin\omega t$ と $|\sin\omega t| \le \tfrac12$ が成立する場合、 for a third of every oscillation, so the slow time is $\tfrac13 \times \pi\sqrt{\tfrac{3L}g} = \pi\sqrt{\tfrac{L}{3g}}$ となる。

水平円周運動

Angular speed（角速度） は $\omega$ (rad s⁻¹) で $v = r\omega$ を伴います。Centripetal acceleration（向心加速度） は $r\omega^2 = \tfrac{v^2}r$ であり、中心に向かって作用します。中心に向かう成分で分解して、 力の方程式と垂直方向の釣り合い式が得られる——これが円錐振り子である。これは台面上で 紐で結ばれた粒子、および傾斜面という3つの標準的な文脈に関するものである。

** worked example — テーブル上の円周運動 (WME03 June 2025 Q2)。** P (質量$m$) が滑らかな 台面上にあり、長さ$a$の紐によって上方の点Oに結ばれ、台面に対して30°の角度をなしながら 半径 $\omega = \sqrt{\tfrac{g}{2a}}$ の円。円の半径は $a\cos30°$ 。中心へ向かって $T\cos30° = m(a\cos30°)\omega^2 = ma\cos30°\cdot\tfrac{g}{2a}$ であるので、 $T = \tfrac{mg}2$。垂直方向へ: $R = mg - T\sin30° = mg - \tfrac{mg}4 = \tfrac{3mg}4$。

垂直円周運動

垂直円周運動では、エネルギー保存則と中心方向のニュートンの法則を組み合わせる。 他のエネルギー移動がない場合、運動エネルギーの変化量は重力ポテンシャルエネルギーと弾性ポテンシャルエネルギーの減少量に等しいというエネルギー方程式は、 Newton's law towards the centre; the leaving condition on a surface is $R = 0$, on a string $T = 0$. After leaving, the particle is a projectile: the horizontal component of 速度が保存される。

** worked example — 球から離れる（WME03 June 2025 Q5）** Pを滑らかな 球（半径$r$）上のAで静止し、OAは鉛直線から$\alpha$の角度にある；PはBで離れ、OBは水平面から$\alpha$ 上にある。（a）エネルギー A→B：AのOからの高さは$r\cos\alpha$であり、BのOからの高さは $r\sin\alpha$であるため、Pは$r(\cos\alpha - \sin\alpha)$だけ落下する： $\tfrac12mv^2 = mgr(\cos\alpha - \sin\alpha)$となり、 $v^2 = 2gr(\cos\alpha - \sin\alpha)$. (b) At B with $R = 0$: $mg\sin\alpha = \tfrac{mv^2}r$ (the component of weight towards O); eliminating $v^2$: $\sin\alpha = 2(\cos\alpha - \sin\alpha)$, so $\tan\alpha = \tfrac23$ となる。（c）その後、水平成分 $v\sin\alpha$は保存され、Oを通る水平面における速さは $\tfrac12mW^2 = mgr\cos\alpha$を満たし、 $\cos^2\theta = \dfrac{v^2\sin^2\alpha}{W^2} = \dfrac{8}{78} = \dfrac4{39}$ — よって $\cos\theta = \tfrac2{\sqrt{39}}$.

重心 の積分による導出

一様な回転体に対して、$\bar x = \dfrac{\int_0^a xy^2\,dx}{\int_0^a y^2\,dx}$ （薄円板の重さを$\pi y^2\,dx$で加重）。半球の結果は単に引用するのではなく導出できる必要がある：$y^2 = a^2 - x^2$、$\int_0^a x(a^2 - x^2)dx = \tfrac{a^4}4$および $\int_0^a (a^2 - x^2)dx = \tfrac{2a^3}3$を用いて、平面側から$\bar x = \tfrac{3a}8$の位置にあることを示す。複合物体：部品の重さを質量（相似な固体の場合は立方）で加重し モーメントを取る；取り除かれた部分は負の質量を持つ。傾いた物体の平衡：重心は接点の真上に位置する — 傾いた物体の平衡。 モーメント；取り除かれた部分は負の質量を持ちます。Equilibrium（平衡） の状態にある傾いた物体について：重心は接点の真上に位置しています。

Worked example — a carved hemisphere (WME03 June 2025 Q6). S is a solid hemisphere (radius $a$) with a radius-$\tfrac a2$ hemisphere removed, plane faces coplanar, centres $O$（大きい）および$C$は、$OC = \tfrac a2$を含む。質量は$8 : 1 : 7$（半径の立方）；軸に沿って $8\cdot\tfrac{3a}8 - 1\cdot\tfrac{3a}{16} = 7\bar y$であるため、Sの重心位置は 湾曲した表面に傾けて置かれ、$\tfrac{45a}{112}$。 Oを通る面内軸に対して：$8\cdot 0 - 1\cdot\tfrac a2 = 7\bar x$であるため、$\bar x = \tfrac{a}{14}$となる。 曲面に傾斜して静止している $\tan\theta = \dfrac{a/14}{45a/112} = \tfrac8{45}$。

この単元終了前のチェックリスト

• $a = f(x)$を$v\,dv/dx$を通じて変換し、指定された瞬間から定数を閉じ込め、$x$を除外するか分離法によって第2積分を終了させる。
• SHM を証明するために$T = \lambda e/L$を導出する（まず平衡張力を求める）、その後、周期、$\lambda e^2/2L$、および正弦波的时间分数を引用する。
• 水平/垂直方向の接点からのオフセット（幾何学）を先に確認し、ひねり棒のフークの法則を用いて平衡時のモーメントを組み合わせる。
• 垂直円については：高さ間でのエネルギー、離脱点での$\ddot x = -\omega^2 x$（または$v_{max} = a\omega$）、水平成分を保存する投射体の継続運動。
• 水平円運動に対して、中心指向（$r\omega^2$）と垂直成分に分解する——台座反力、錘振り、傾斜面など。
• 垂直円運動の場合：高さとエネルギーの関係、離脱点における$R = 0$（または$T = 0$）、水平成分を保存した飛翔体の継続運動。
• 半球の重心を円板積分で導出；符号付き質量を用いて複合体を構成；重心が接点より上にある条件で傾斜平衡を閉じる。