比率、比例と変化の割合

AQA GCSE Mathematics 8300 トピック 3.3 (規定版 Version 1.0, 12 September 2014, 最初の試験2017）。基礎コースの行R1–R16は3つのレベルに分かれます。上級コース専用 追加内容として、数値的および代数的な文脈における複合単位（密度、圧力） （R1）、100%を超える百分率や元値問題（R9）、$k : k^2 : k^3$ の相似比（R12）、直接比例および反比例の方程式作成 （R13）、接線の傾きとしての瞬間的な変化の割合（R15）、および一般 複利を超えた反復過程（R16）。6月の2024上級セットは、 以下の検証済みアンカーを提供します。

トピック3.3で必須：

関連する標準単位（時間、長さ、面積、体積/容量、 質量）と複合単位（速度、時給、価格）を数値的文脈内で自由に換算する 基礎コース追加として密度と圧力、上級コースでは数値的 および代数的な文脈で扱う— 体積$V = 2x^3$で質量$m = 5x^2$の円柱は 密度$\tfrac{5x^2}{2x^3} = \tfrac{5}{2x}$である。

比記法は最简形に整理する ($45 : 60 = 3 : 4$); 一つの量を別の量の 分数として表す (分数が1より上または下); 量を部分 : 部分で分割する または 部分 : 全体比 — £350 を $2 : 5$ で割ると £100 と £250 になる。乗法的な 関係を比または分数として表す (R6); 比例を比の等式として表す (R7); 比を 分数と直線関数 LINEAR functions に結びつける (R8: 単位法と $y = kx$ は同じ梯子)。 比を実際の文脈に応用する — 換算、比較、スケール、混合、濃度、 お得度／ベストバイ problems (R5): 決定する前に単価を比較する。 before deciding.

** worked example.** 最安値比較：2.5 kg袋が£6.40（単価 £6.40 ÷ 2.5 = £2.56/kg）、対して400 g箱が£1.12（£1.12 ÷ 0.4 = £2.80/kg）。大きい袋の方がコストパフォーマンスが良いが、比較は両者がkgあたりの価格である場合にのみ成立する。単価を明記せよ：受験者は選択だけでなく、割り算の過程も確認したい。

パーセンテージは百分率です；百分率と百分率の変化を解釈する 分数/小数と乗法的な関係 (R9)。追加基礎：ある量を別の量の何百分のいかを表現する 2つの量を比較し、100%を超える計算を行う。 百分率の増減、元の値を求める問題、単純利息。 multiplier discipline: +12% is ×1.12; −17% is ×0.83; original value divides the 乗数による最終値。

** worked example: 2H June 2024 Q2, adapted.** 某町の人口が12%減少して 2200. Original $= 2200 \div 0.88 = 2500$. The MS's own multiplier check: $2{,}200{,}000 \div 0.88 = 2.5 \times 10^6$ を標準形に — 同じ割り算、 拡大された数値。

図示および代数的手法を用いて直接比と反比例の問題を解く representations (R10). Higher interprets and CONSTRUCTS equations describing proportion (R13): $X \propto Y$ means $X = kY$; $X$ inversely proportional to $Y$ は$X = k/Y$を意味する。$y \propto x^3$が$y = 24$で$x = 2$の場合、比例定数は$k = 3$であり、 $p \propto \tfrac1{x^2}$が$p = 8$で$x = 2$の場合、$k = 32$および$p = \tfrac{32}{x^2}$となる。 グラフを認識・解釈する：直接比は原点を通る直線（高次項の項がある場合は曲線として上に凸）であり、 origin (higher powers curve upward); inverse proportion is a reciprocal-shaped curve (R14 links the gradient of a straight line to a rate of change).

複合単位を使用する — 速度、時給、単価（基礎レベル追加）； 密度および圧力（R11）、比較を含む。234kmの旅に2時間36分かかる場合、 平均は$234 \div 2.6 = 90$km/h；£9.20/時の給与で7.5時間働くと£69を得る；ベストバイ比較 は価格を数量で割り、同様の項目同士で比較する。

スケール比、縮尺図、地図（R2、幾何学問題を含む）を使用する。 比記法とスケール比を用いて長さ、面積、体積を比較する（R12）: 長さ $k$ : 面積スケール比 $k^2$ : 体積 $k^3$、相似との関連を含み 三角比；Higherでは問題における $k : k^2 : k^3$ ラダーに拡張される—— 高さ $3 : 5$ の似通った像は体積が比 $27 : 125$ であり、したがって 216 cm³ 小さな像は $216 \times \tfrac{125}{27} = 1000$ cm³ にスケールされる。

直線グラフの傾きを変化率として解釈する（R14）——距離-時間グラフでは distance-time graph it is speed; on a velocity-time graph the gradient is acceleration and the AREA is distance. Higher (R15) reads the gradient at a point rise/run とし、平均（弦）および瞬間（接線）の変化率を 数値的、代数的、および図形的な文脈に応用する。 numerical, algebraic and graphical contexts.

増減問題の構成、解法および複利を含む解釈 (R16): $A = P\left(1 \pm \tfrac r{100}\right)^n$. £2000を3%の複利で4年間預ける $2000 \times 1.03^4 = £2251.02$まで増加する；価値が£12000の車が年率15%ずつ減少すると $12000 \times 0.85^3 = £7369.50$.

** worked example: 2H June 2024 Q10, adapted.** 価値£90000の家が3%上昇した後で 8%: $90000 \times 1.03 \times 1.08 = £100116$ — £100000より高いのではい。 MSの 乗数によるアプローチ：$1.03 \times 1.08 = 1.1124 > 1.111\ldots = 100000/90000$. 高い値 一般的な反復プロセスを追加する：$x_{n+1} = f(x_n)$サイクルでの繰り返し 百分率 — 各サイクルで5%増加する量は$x_{n+1} = 1.05x_n$を反復し、 極限（あれば）は$x = f(x)$を解く。文脈において解答を解釈し、適切に四捨五入して 単位を明記せよ。

• 単位および複合単位の換算（密度・圧力含む）、Higherにおける代数的処理（R1, R11）。
• 縮尺因子、図表、地図（R2）；分数としての量；比の表記、分配、実生活の文脈、ベストバイ問題（R3–R5）。
• 倍数的関係を比/分数として；比例を比の等式として；比から分数および一次関数へ（R6–R8）。
• 百分率の乗数（100%超を含む）、変化、初期値、単利（R9; Q2アンカー）。
• 直接・逆比例をグラフ上および代数的に；比例方程式の解釈と構築（R10, R13）。
• 傾きを変化の割合として；弦（平均）および接線（瞬間的）の割合（R14–R15）。
• 相似比と面積・体積の比率 $k : k^2 : k^3$（R12との関連）。
• 増減、複利を含む一般反復プロセスとその解釈（R16; Q10の基準点）。

境界注記: 数式シートにはこのトピックに関する記載がありません；ベストバイ比較 単価の表示が必要です。Higherでは収束チェックを含む反復計算が含まれます。 worked examples（解例） は6月2024 Higher試験問題から改変されたもの（メタの評価証拠を参照）またはオリジナルです。 evidence) or original.