S · Moments

AQA Aレベル数学 7357、セクションS（モーメント）、バージョン 1.3（初回評価 2018）。オリジナル授業用メモ。

前提知識：セクションRの力とニュートンの法則。

これらは公式なAQA教材ではなく、オリジナルの授業例である。

問題

• 短いレンチでは動かない締まりのねじを、同じ大きさの力では長いレンチで緩めることができる。この追加の回転効果はどこから生まれるのか？
• これ以降を読む前に、力の回転効果に何に依存するかを述べよ。また、なぜハンドル長を倍にすると回転効果も倍になるかを説明せよ。

手法

• 点に対する力のモーメントとは、その点から力の作用線までの垂直距離（単位：N m）に力を掛けたものである。点を通る力は距離がゼロであり、モーメントもゼロとなるため、その点を中心に体を回転させることはできない。
• 体はつり合い状態にあるのは、両方の条件が満たされたときのみである。すなわち、力の合力がゼロ（並進なし）かつ、あらゆる点に関するモーメントの和がゼロ（回転なし）であること。未知の力についてモーメントをとるとき、その点を支点とすれば方程式から除外できる。なぜなら距離がゼロだからであり、これにより1つの方程式で1つの未知量を解くことができる。
• モーメント：力 × 点から力の作用線までの垂直距離（単位：N m）；つり合い：合力および合力モーメントがゼロであり、並進も回転もない状態；支点：モーメントの基準とする点、または体が回転する点。

解答の確認

• モーメントを取る点は、最も計算の面倒な未知力が通る点を選ぶようにする。2つの支点を持つ梁の場合、一方の支点についてモーメントをとって他方の反発力を求め、次にΣF = 0を用いて最初の反発力を求める。
• 距離は力の描かれた場所ではなく、力の作用線まで測る。例えば、3 mの棒に対して40°の角度で力が働いている場合、垂直距離は3 mではなく3 sin 40°となる。

演習例

• Known: a light 4 m beam rests on supports A and B at its ends, with a 260 N load 1 m from A. Moments about A: R_B × 4 = 260 × 1, so R_B = 65 N. Vertical forces: R_A + R_B = 260, so R_A = 195 N. The check R_A + R_B = 260 ✓ and moments about B (195 × 4 = 260 × 3 = 780 ✓) both close.

例：

A uniform 6 m plank of weight 200 N rests on supports at its ends, and a 400 N crate sits 2 m from one end. Find both reactions, using the same sequence: moments about one support → ΣF = 0 → check about the other. (Answer: moments about the near support give 6R_far = 400 × 2 + 200 × 3 = 1,400, so R_far ≈ 233 N and R_near = 600 − 233 ≈ 367 N.)

限界と罠

• 確認のために第2の点についてモーメントをとる。1つ目の式に数値ミスがあれば即座に検出できる。支点支持の梁における両方の反発力は正の値でなければならない。負の値が出た場合、その支点から梁が浮き上がっていることを意味し、モデルが成立しなくなる。

警告：

合力がゼロであればつり合いaint sufficientであるという主張は誤りである。異なる2点に等しく逆向きの力が働く場合（カップル）、合力はゼロでも体は回転する。つり合いには合力モーメントもゼロである必要がある。そのため、押す力が変化しないにもかかわらずレンチの長さが必要となるのである。

重要：

モーメント：モーメント＝力×垂直距離（単位：N m）；つり合いにはΣF = 0 かつ ΣM = 0 が必要です。未知の力を除外するためにその点についてモーメントを取り、第2の点について再度モーメントをとって確認します。