N · Statistical distributions

AQA A-level Mathematics 7357、セクション N（統計分布）、バージョン 1.3（初回評価 2018）。オリジナル授業用ノート。

前提知识：セクションMの確率。

これらは公式なAQA教材ではなく、オリジナルの授業例である。

問題

• マシンが 500 ml 付近にわずかなばらつきでボトルを詰める一方、欠陥品のマシン計数は常に整数です。一方のモデルは滑らかな曲線下の面積を用い、もう一方は離散確率を数えます。どちらがどちらに当てはまりますか？
• 読み進める前に、何が計数を二項分布にし、連続モデルに何を必要とするかを答えてください。

手法

• 二項分布には固定された n、独立した試行、2つの結果、定数 p が必要です：P(X = k) = C(n,k) pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ、E(X) = np、Var(X) = np(1 − p)。期待値は確率加重平均です。
• 連続量は密度曲線に従う: 確率は面積であり、P(X = x) = 0 (任意の正確な値に対して)。 正規分布 は z = (x − μ)/σ で標準化して、片側確率を参照する。ポアソンモデルは一定のレートで事象を数え、平均は分散に等しい。
• 二項分布: n 回の独立した2結果試行における成功回数で、一定の確率 p を持つ; 期待値: 確率加重平均; 正規分布: 連続量を表す対称的な鐘型モデルで、z = (x − μ)/σ で標準化される。

解答の確認

• 公式を使用する前に二項分布の条件を確認する: 無代替抽出では試行が依存し、p が変化するため、モデルが機能しない。すべてのカウントが二項分布であるわけではない。
• 連続変数に対しては、P(X = 正確に 130) と聞かない: 尾または区間を計算する。イベントを宣言してから計算し、最初に塗りつぶしの領域を描く。

演習例

• 既知: X ~ 二項(5, 0.2)。 P(X = 0) = 0.8⁵ = 0.32768。 E(X) = np = 1 および Var(X) = np(1 − p) = 0.8。 μ = 100, σ = 15 の正規量において、値 130 は z = (130 − 100)/15 = 2 となり、平均から2標準偏差上にある。

例：

X ~ 二項(5, 0.2) に対して、P(X = 1) を同じ手順で見つける: モデルを選択 → 公式 → 代入。(答え: P(X = 1) = C(5,1) × 0.2 × 0.8⁴ = 5 × 0.2 × 0.4096 = 0.4096。)

限界と罠

• 二項モーメントは4つの条件すべてが満たされるときのみ成立する。正規モデルはほぼ対称的なデータが必要であり、離散分布を正規近似する際は連続性補正が重要である。

警告：

すべての成功のカウントは依存に関わらず二項分布を持つ。この主張は誤りである: モデルは一定の p を持つ独立した試行を必要とする — 無代替抽出や成功率の変化はこれを破るため、公式は誤った精度を示す。

重要：

統計的分布: 固定nの独立したカウントには二項分布 (E = np, Var = np(1 − p)); 連続量には z = (x − μ)/σ を通じた正規分布; 確率は連続モデルでは面積、離散モデルでは正確な項である。