対象範囲と前提条件
ACTフレームワーク、February 2026版改訂。本稿の教室事例は公式のACT形式ではありません。
- タスクに対して等価な展開形、因数分解形、または頂点形式を選択すること
- 構造を利用して一次方程式および多項式方程式を解くこと
- 根だけでなく符号に基づいて二次不等式の領域を決定すること
前提知識：同類項をまとめます；順対を代入します；符号付き算术を行います。
説明し、方法を選択する
操作する前に関係を式に書き換えてください。固定費＋単価はアフィン線形モデルであり、寸法の積は二次式を生むことがあります。等価な形は、定義域において元の式を保持する必要があります。すべての積を展開する前に共通項を因数分解し、恒等式を認識してください。
一次方程式は簡略化後に1つ、0個、または無数の解を持つことがあります；割り算をする前にゼロ係数を確認してください。不等式の両辺に負の数を掛けて割ると、不等号の向きが反転します。多項式の積がゼロになるのは、少なくとも一つの因子がゼロの場合です。ゼロの根を失わないよう、抽出した x を含むすべての因子を維持してください。
二次式の因数分解形は根を明瞭にし、頂点形は極値を明瞭にします。不等式については、実の根を並べ替え、各区間の符号を試してください。境界点は ≤ または ≥ の場合のみ含めます。上に凸の放物線は、2つの異なる実の根の間で負、それ以外で正になります。
候補値を確認するために、元の関係式への代入を行う。展開係数の問題は、同じ累乗に対する複数の寄与を組み合わせる必要がある場合がある。三次多項式は一般の立方方程式を必ず必要とせず、公因数や既知の根があればより単純な因数に分解できる。構造に基づいて方法を選択する。
恒等式はすべての許容される入力に対して成立する。$ax+b=cx+d$から始める。 項をまとめます：$(a-c)x=d-b$。 割り算を行う前に $a-c$ を確認します。 $a=c$ と $b=d$ の両方が成り立つ場合、すべての実数入力が有効です。$a=c$ のみが成立する場合、有効な入力は存在しません。 それ以外の場合、$x=(d-b)/(a-c)$ は一つの解を与えます。
計算例。 x²-5x+6=(x-2)(x-3) であるから、x²-5x+6<0 は 2<x<3 を与える。x³-4x=x(x-2)(x+2) より、解は -2,0,2 である。式 2(x-3)²+5 の最小値は x=3 で 5 となる。(2x+1)(x-4) における x の係数は -8+1=-7 である。
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
練習 1
$x^3-9x=0$ と $(x+2)(x-5)\ge0$ を解きます。 最初から立方式を $x$ で割ることで解が失われる理由を説明してください。
** reasoning.** 因子$x(x-3)(x+3)=0$を取り出すと$-3,0,3$となる。$x$で不適切に除くことで、許容される零点が失われる。不等式については、解は$-2,5$であり、積は解の外側で非負となり、端点を含むため、$x\le-2$または$x\ge5$となる。
練習 2
$2x^2-12x+23$ を頂点形式で書き、その最小値を述べます。 $(2x-3)(x+4)$ における $x$ の係数を求めます。
解説。 平方完成により $2(x-3)^2+5$ となり、最小値は 5 で、$x=3$ のときである。積の展開は $2x^2+5x-12$ なので、係数は 5 となる。
練習 3
プリンターはジョブの設定料として 25 元、枚当たり 0.40 元を請求します。 $n$ 枚の総費用を表し、65 元の予算制限に対する不等式を整数枚で解きます。 辺が $x$ メートルと $x+3$ メートルの長方形の面積式と比較してください。
解説。 $C=f+pn=25\,\mathrm{yuan}+(0.40\,\mathrm{yuan/page})(n\,\mathrm{pages})$ 。予算 $25+0.40n\le65$ により $0\le n\le100$ が得られ、整数 $n$ となる。料金は $n$ に対してアフィン線形である。この長方形は、数値的な長さ（メートル単位）が $A=x(x+3)=x^2+3x$ で $x>0$ であり、2つの可変量の長さを掛け合わせると固定料金＋単価ではなく、二次式となる。
Limits and next use
取り出した因子を省略したり、厳密な不等式の境界を含めたり、問題が最小値を求めているにもかかわらず頂点の x 座標を報告したりしないでください。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。