対象範囲と前提条件
ACTフレームワーク、February 2026版改訂。本稿の教室事例は公式のACT形式ではありません。
- ベクトルの成分ごとに加算とスケーリングを行う
- 次元が一致する行列とベクトルの乗算を行う
- 定量的モデルにおける要素と単位を解釈する
前提知識：順序対、三平方の定理、乗法と加法。
説明し、方法を選択する
2次元ベクトルは順序付きの変位や他のペア Quantity（Quantity）を記録する。対応する成分を加算し、両方をスカラー倍する。AからBへのベクトルはB-Aであり、A-Bではない。その大きさ（magnitude）はユークリッド座標平面で√(u²+v²)であり、方向と大きさは異なる情報の塊である。
行列は要素を行と列で配置する。同じ形状の行列同士のみ、対応する位置の要素を足し合わせる。掛け算では、第1因数の列数が第2因数の行数と等しい必要がある。2×3行列に3×1ベクトルをかけると、2×1の結果が得られる：各出力は、各行のベクトルとの内積である。
順序が重要である：行列の乗算は一般に交換律を満たさない。A×Bが定義されていても、B×Aは定義されていないか、異なる結果になることがある。同じ品目の順序で商品数量を含む行と単価を含む列がある場合、内積は総コストを与える。品目の順序が不一致の場合、数値的には整理されているが意味のない答えが得られる。
計算前に各要素と単位をラベル付けしてください。変位ベクトルは距離の単位を使用しますが、行列の要素は個数、コスト、またはレートであることがあります。掛け算後には、出力の単位を解釈してください。ACTの問題では演算定義が提供される場合があります。見慣れない記号が常に通常の掛け算を意味するとは限りませんので、その定義に従ってください。
行列はラベル付きの行と列を使用する。 数量行 $(2,3)$ と価格列 $(4,5)^T$ がコスト $2(4)+3(5)=23$ を与えます。 行列積が存在するには、内部の次元が一致している必要があります。 $A$から$B$への変位ベクトルは$B-A$である。
計算例。 変位(3,4)と(-1,2)の和は(2,6)であり、前者の絶対値は5である。2つの買い物リスト(2,1)と(1,3)、価格(4,5)から、コストは$2\times4+1\times5=13$と$1\times4+3\times5=19$となる。行列[[2,1],[1,3]]に列ベクトル[4,5]を掛けると列ベクトル[13,19]になる。要素は個数×品目あたりの価格を表す。
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
練習 1
メートル単位の点 A と B はそれぞれ $(1,-2)$ と $(7,6)$ です。A から B への変位とその大きさを見つけてください。次に、B に変位 $(-3,2)$ メートルを加えた後の終点を見つけてください。
** reasoning.** $\overrightarrow{AB}=B-A=(6,8)\,\mathrm{m}$。大きさ$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^2+8^2}\,\mathrm{m}=10\,\mathrm{m}$。新しい終点まで$B+(-3,2)=(4,8)$メートル。方向は逆転してはいけない。
練習 2
店の2つの注文には、ペンとノートブックの数量行がそれぞれ $(3,2)$ と $(1,4)$ です。価格はそれぞれ 2 と 7 元です。行列積と両方の注文のコストを求めよ。
** reasoning.** $Q=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}$、$p=\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}$元/個。$Qp=\begin{pmatrix}3(2)+2(7)\\1(2)+4(7)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20\\30\end{pmatrix}$元。商品の順序は価格の順序と一致しなければならない。
練習 3
A は 2 by 3、B は 3 by 4 です。AB のサイズと、BA が定義可能かどうかを述べよ。
** reasoning.** ABは対応する内側次元が3で、外側次元が2×4である。BAを行うには4=2が必要なので、定義されない。積の順序を入れ替えることは許容されない。
Limits and next use
行/列の形状と項目の順序を明示的に保つ。ベクトルの大きさは成分の和ではない。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。