対象範囲と前提条件
ACTフレームワーク、February 2026版改訂。本稿の教室事例は公式のACT形式ではありません。
- 有理数と無理数を区別し、その和が同種の数であるとは仮定しない
- 許容される定義域において指数法則と根号の法則を適用する
- i²=-1および共役複素数を用いて複素数の計算を行う
前提条件：分配法則；平方根；$i^2=-1$。
説明し、方法を選択する
有理数は分母がゼロでない整数の比であり、有限小数または循環小数は有理数である。無理実数はそのような比ではない。有理数の加法・乗法による閉包性は、無理数の閉包性を意味しない。正確な平方根は単純化できる：√18=3√2は无理であるのに対し、√16=4是有理である。
正の底に対して、a^(m/n) はn乗根と整数累乗の組み合わせである。負の指数は逆数を作成し、分母がゼロでないことを要する。√(x²)=|x|とxを区別すること。偶乗根が関わる場合は、実数の定義域と主値（非負）の根を尊重すること。累乗は積に対して分配できるが、和に対しては分配できない：(a+b)²には交項が含まれる。
複素数の演算ではi²=-1を使用する。実部と虚部をそれぞれ加算し、分配法則を用いて乗算した後にi²を簡約する。a+biで割るには、分子と分母にa-biを掛けて、元のものがゼロでない場合、結果の分母はa²+b²となる。複素数の根は、実数の解を持たない方程式x²=-9などの解を許容する。
強化版ACTでも一部の高度なトピックが含まれており、数式シートは提供されない。電卓の表示から推測するのではなく、定義ルールへの親しみを作るべきだ。問題が実数解か複素数解か、正確な根号表現か小数近似かを問うているか確認する。ここでは、形成評価としての地域的なチェックが行われているが、公式採点用形式ではない。
複素共役数は虚数符号を変化させます。 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ が実数 $a,b$ です。 したがって $(2+i)/(2-i)=(2+i)^2/5=(3+4i)/5$ です。 分母はゼロではありません；正確な値とその小数点近似値を区別してください。
** worked example.** 16^(3/4)=2³=8. (2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i²=8-i. (1+i)/(1-i)に1+iを掛けて、(1+i)²/2=2i/2=iとなる。x²+9=0の解は±3iであり、どちらも実数ではない。
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
練習 1
$(3-2i)/(1+i)$ を $a+bi$ の形に計算します。
** reasoning. ** 両辺に $1-i$ を掛けると、分子は $(3-2i)(1-i)=3-5i+2i^2=1-5i$ となる。分母は 2 である。答えは $1/2-(5/2)i$ である。$1+i$ で元に戻すと $3-2i$ になる。
練習 2
$32^{2/5}$ と $\sqrt{(-7)^2}$ を評価します。$z^2+16=0$ を複素数範囲で解きます。
** reasoning. ** 32 の5乗根は 2 であるため、$32^{2/5}=2^2=4$ となる。主平方根は $|-7|=7$ である。方程式については、$z^2=-16$ が $z=4i,-4i$ を与え、どちらも非実数である。
練習 3
2つの無理数の積が有理数になる例を1つ示し、无理数になる例も1つ示してください。
** reasoning. ** $\sqrt2\sqrt2=2$ は有理数である。$\sqrt2\sqrt3=\sqrt6$ は無理数である。ラベル「無理数」のみから、すべての積に対する閉包性または非閉包性は導かれない。
練習 4
$\sqrt{50}$ と $\sqrt{50}\sqrt2$ を有理数か無理数かに分類します。$32^{2/5}$ と $2^{-3}$ を評価します。$\sqrt2$ と $-\sqrt2$ を用いて、無理数の和が必ずしも無理数であることをテストします。
** reasoning. ** $\sqrt{50}=5\sqrt2$ は無理数であるが、$\sqrt{50}\sqrt2=\sqrt{100}=10$ は有理数である。$32^{2/5}=(\sqrt[5]{32})^2=2^2=4$ と $2^{-3}=1/2^3=1/8$ 。2つの无理数の和はゼロであり、これは有理数である；无理数は加算に対して閉包していない。これらの偶乗根の积は非負の実数被開数を用いる。
Limits and next use
2つの無理数の項の和が必ず無理数になることを推論したり、二乗を和に分配したり、x が負になる可能性がある場合に √(x²) を x に置き換えてはいけません。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。