対象範囲と前提条件
ACTフレームワーク、February 2026版改訂。本稿の教室事例は公式のACT形式ではありません。
- ラベル付きデータ表示から中心、分散、形状を読み取る
- 平均と標準偏差を用いて正規モデルを解釈する
- 2変数の相関と因果証拠を区別する
前提知識：順序データ；頻度；平均値と中央値。
説明し、方法を選択する
平均値はすべての観測値に重み付けされ、中央値は順序付けされた真ん中を使う。ヒストグラムは数値データを区間に grouping し、箱ひげ図は四分位数を表示し、棒グラフはカテゴリを比較する。 apparent width または height を比較する前に、単位、スケール、頻度を確認すること。計算が必要な場合は、課題で指定された四分位数の定義に従うこと。
定数を加えると平均と中央値は移動しますが標準偏差は変わりません。正の倍率で値を掛けると、中心とばらつきの両方がスケールされます。正規モデルでは、平均は対称の中心に位置し、約68%が1標準偏差以内、約95%が2標準偏差内に収まります。これらの近似値は特定の正規モデルに関するものであり、単に似通って対称的なデータセットすべてを指すものではありません。
散布図は定量測定値をペアで結びます。フィットした直線は応答を予測し、残差は観測値から予測値を引いたものです。2次元表はカテゴリや条件付き割合を比較するために用いられます。傾向は相関を示すことがありますが、因果関係を示すものではありません。他の変数や選抜バイアスによってその関係性が説明される可能性があるためです。
非公式なフィット直線はすべての点を結ぶのではなく、主な傾向に従うべきです。方向性、形状、異常値を記述します。観測範囲内の補間は、遠方への外挿よりも根拠があります。グラフのスケール変更により、変化していない関係性がより強くも弱くも見えることがあります。そのため、実際の座標と軸を確認してください。
頻度は反復観測の回数を示す。 値1, 3, 7がそれぞれ頻度2, 1, 1を持つ場合、4つの観察値は1, 1, 3, 7を表します。 $\bar x=\sum fx/\sum f=(2(1)+1(3)+1(7))/4=3$. 中央値は $(1+3)/2=2$ であり、平均値と等しいとは限らない。
** worked example.** 平均 50、標準偏差 5 の正規モデルによる得点分布では、45 と 55 の間に約 68%、40 と 60 の間に約 95% が存在する。10 を加えると平均は 60 にシフトするが、標準偏差は 5 のまま維持される。y=2x+4 において x=3 のとき、予測値 y は 10 である。観測値 12 に対して、残差は +2 となる。これらは仮想的な教育モデルである。
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
練習 1
ある正規モデルの平均は80、標準偏差は6です。中心的な68%区間と95%区間の概算を求めよ。すべての得点が$z=2x+5$に変換されたとき、変換後の平均と標準偏差を求めよ。
解説。 指定された正規モデルでは、68%が74–86に、95%が68–92に分布します。変換後の平均は$2(80)+5=165$、標準偏差は$2(6)=12$です。これらはモデル上の割合であり、有限標本における保証ではありません。
練習 2
フィットモデルは$y=4x+3$です。$x=5$で観測値は$y=20$です。予測出力と残差を求めよ。正の傾きだけで因果関係を証明できるか？
Reasoning. 予測値は $4(5)+3=23$、残差は $e=y_{obs}-y_{pred}=20-23=-3$ である。正の傾き fit 下での相関を示すが、混入変数や選抜バイアスによって直接の原因なしに説明できる場合もある。
練習 3
データは2,4,4,6,9,11,12,16です。下半分と上半分の中央値を用いて、5数要約と四分位範囲を求めよ。この要約を保持する表示はどれか：箱ひげ図、カテゴリ別棒グラフ、または散布図か？
解説。 中央値は$Q_2=(6+9)/2=7.5$です。下半分2,4,4,6には$Q_1=4$、上半分9,11,12,16には$Q_3=11.5$が含まれます。5数要約は$(2,4,7.5,11.5,16)$および$IQR=Q_3-Q_1=7.5$です。箱ひげ図はこれらの値を表示します。カテゴリー棒グラフはカテゴリ数の比較に使用され、散布図はペア化された定量測定が必要です。どちらもこの単変量の5数要約を直接表示するものではありません。提示された四分位数の定義により、他の有効な四分位数の定義間での不一致を防いでいます。
練習 4
仮想的なヒストグラムに等幅ビン[0,10), [10,20), [20,30]があり、頻度は2,6,2です。20未満の割合を述べよ。正確な平均が決定されるか。時間と生産量の散布図で曲線的な傾向と高い外れ値が1つ見られる。なぜすべての点を結ぶ直線が不適切かを説明せよ。
推論。 20以下に2+6=8の10の観測値があるため、80%となる。ビン内の正確な観測値は不明であるため、正確な平均は導かれません；中間値による推定はあくまで推定値として示す必要があります。散布図はペアを表し、フィットされた関係式はその主な傾向を記述するものとし、異常値も考慮すべきです。各観測値を結ぶと、個別のケース間に経路を作ってしまい、曲線的な傾向を見誤ります。フィットや外挿を行う前に、実際の軸スケールと外れ値を確認してください。
Limits and next use
正規モデルの条件がない場合に正規モデルの百分率を用いたり、スカッタープロットの傾きを自動的な因果効果として解釈したりしてはいけない。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。