対象範囲と前提条件
ACTフレームワーク、February 2026版改訂。本稿の教室事例は公式のACT形式ではありません。
- 標準的な円、楕円、放物線、双曲線の形式を特定・解釈する
- その条件下での円の角、接線、 secant の関係を使用する
- 正しい次元と単位を用いて面積、表面積、または体積を計算する
前提知識：平方完成；半軸の二乗；円の幾何学；体積の単位。
説明し、方法を選択する
円の方程式は (x-h)²+(y-k)²=r² である。楕円は正の二乗項を半軸の二乗で割った和を持つ。双曲線はこれらの項の差を持つ。放物線は標準的な整列された形において一つの座標が二乗されている。y²=4px において、頂点は原点であり、焦点は (p,0) である。方向を解釈する前に符号と軸を確認せよ。
(x-1)²/9+(y+2)²/4=1 のとき、中心は (1,-2)、水平半軸 3、垂直半軸 2 である。中心が展開式の奥に隠れている場合は平方完成を行う。方程式の係数と符号は二次曲線の種類を区別する。おおよそのスケッチだけでは、欠落している代数的情報を補うことはできない。
接線は接点における半径に垂直である。内接角は、同じ弧に対する中心角の半分である。同一の外点から引く2本の接線のうち、外側の部分×全長は等しく、また接線の二乗はその積に等しい。全長には外側の部分を含むため、外側と内側だけを掛け合えないこと。
境界測度と空間測度を区別する。円の周長は 2πr、面積は πr²；円柱の体積は πr²h；円錐の体積は πr²h/3；球の体積は 4πr³/3。表面積は露出面の和である。対応する長さすべてが k 倍であれば、面積は k² 倍、体積は k³ 倍となる。寸法を1つだけ変更する場合は元の公式を用いる。
楕円 $(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1$ は中心 $(h,k)$ を持つ。 半軸の長さは正の分母の平方根である。 放物線 $y^2=4px$ は焦点 $(p,0)$ と准線 $x=-p$ を持つ。 これらの方程式を、平方の差を持つ双曲線と区別せよ。
** worked example.** 楕円 (x-1)²/9+(y+2)²/4=1 の水平方向の端点は (-2,-2) と (4,-2) である。 y²=8x において p=2 であり、焦点は (2,0) である。外部/全長が 3/12 および 4/9 である割線はどちらも積が 36 であるため、同じ点から引いた接線の長さは 6 である。半径 3、高さ 8 の円錐の体積は 24π である。
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
練習 1
$(x+2)^2/25+(y-1)^2/9=1$ について、中心、水平および垂直な半軸、および4つの軸上の端点を答える。$y^2=-12x$ について、頂点と焦点を答える。
Reasoning. 中心は $(-2,1)$、半軸は 5 と 3、端点は $(-7,1),(3,1),(-2,-2),(-2,4)$ である。放物線においては $4p=-12$ なので $p=-3$；頂点は $(0,0)$、焦点は $(-3,0)$ である。
練習 2
ある外点からの接線の長さは 6 cm。接線の外側の部分は 4 cm。その全長および内側の長さを求めよ。
Reasoning. 接線–割線定理 $t^2=ew$ を用いる。式 $w=t^2/e=(6\,\mathrm{cm})^2/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$ を変形する。内部の長さは $w-e=9\,\mathrm{cm}-4\,\mathrm{cm}=5\,\mathrm{cm}$ である。積には全長を用い、内部の長さのみを用いてはいけない。
練習 3
A cylindrical container has radius 3 cm and height 8 cm. Find its volume and total closed surface area. What happens to each if every length doubles?
Reasoning. $V=\pi r^2h=\pi(3\,\mathrm{cm})^2(8\,\mathrm{cm})=72\pi\,\mathrm{cm^3}$. $A=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi(3\,\mathrm{cm})^2+2\pi(3\,\mathrm{cm})(8\,\mathrm{cm})=66\pi\,\mathrm{cm^2}$. Doubling all lengths multiplies volume by 8 and area by 4.
練習 4
$x^2/16-y^2/9=1$ と $x^2+y^2=16$ を分類せよ。円の周長と面積を求めよ。同一の外点から引く2本の接線のうち、一方の外側/全長が 3/12 cm、他方の外側長が 4 cm：その全長および内側の長さを求めよ。
Reasoning. 平方項の差で定義されるのは原点を中心とする双曲線である。等しい係数を持つ和で定義されるのは半径 4 の円である。その円周は座標単位で $C=2\pi r=8\pi$、面積は平方単位で $A=\pi r^2=16\pi$ である。割線の積は一致する：$e_1w_1=e_2w_2$。したがって $w_2=(3\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$；内部の長さは $9-4=5\,\mathrm{cm}$ である。外部×内部を用いると誤った関係式となってしまう。
Limits and next use
半径や半軸を求めるには平方根をとり、割線では全体長を使用し、体積には立方単位の値を用いる。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。