対象範囲と前提条件
ACTフレームワーク、February 2026版改訂。本稿の教室事例は公式のACT形式ではありません。
- 剛体変換と拡大縮小を区別しながら座標を変換する
- 距離、中点、傾きを幾何学的証拠として用いる
- 図形の外観ではなく、有効な合同条件や角の関係を用いる
前提知識：座標の差；三角形の合同；平行線上の角。
説明し、方法を選択する
A translation adds a displacement to each point; reflection across the x-axis sends (x,y) to (x,-y). A 90° counterclockwise rotation around the origin sends (x,y) to (-y,x). These rigid motions preserve lengths and angles. Dilation by factor k about the origin scales coordinates and lengths by k when k is positive, preserving shape but generally changing size.
2点間の距離は三平方の定理に従います：座標の差の二乗を足し合わせ、ルートを取ります。中点は各座標の平均値です。傾きは垂直方向の変化と水平方向の変化を比較します。互いに垂直な非垂直線の傾きの積は -1 です。垂直線と水平線はゼロ除算を避けるために個別に扱う必要があります。
幾何学的証明は明示された条件または記号から始まります。対頂角は等しく、平行線からは対応角や交互内角の関係が得られます。三角形の内角の和は 180° です。SSS、SAS、ASA/AAS による合同条件は正しい対応関係の下で成立しますが、2つの角が等しいことだけでは相似を示しても、等しい大きさは示しません。
作図の論証ではコンパスを使って長さを転送し、等半径の弧を描きます。等距離の弧の交点は垂直二等分線を特定するために使われますが、スケッチからの推測された中点ではありません。座標による証拠は証明を補強できますが、特定の1つの図形だけですべての三角形に対する一般的な命題が成立することは保証されません。
剛体運動は長さや角度を保存します。 原点を中心に 90° 反時計回りの回転は、$(x,y)$ を $(-y,x)$ に送ります。 距離は $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ です。 等しい角は相似性を確立しますが、合同はさらにサイズも固定します。
Worked example. Point (2,-1) translated by (3,4) becomes (5,3); rotated 90° counterclockwise about the origin it becomes (1,2). Between (1,2) and (7,10), distance is √(6²+8²)=10 and midpoint (4,6). Two triangles with matching side lengths 3,4,5 are congruent by SSS; triangles with equal angles may instead differ by scale.
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
練習 1
A = $(2,-3)$ を原点を中心に 90° 反時計回りに回転し、次に $(4,1)$ だけ平行移動します。順序を逆にして終点を比較してください。
推論。 まず $(3,2)$ へ回転させ、次に $(7,3)$ へ平行移動する。まず $(6,-2)$ へ平行移動させ、次に $(2,6)$ へ回転させる。端点が異なるため、変換の順序は重要である。
練習 2
A = $(-1,2)$ および B = $(5,10)$ は線分の端点です。その長さ、中点、垂直二等分線の方程式を求めよ。
推論。 $d=\sqrt{(5+1)^2+(10-2)^2}=10$。中点 $M=(({-1}+5)/2,(2+10)/2)=(2,6)$。線分の傾きは $8/6=4/3$ なので、垂直な直線の傾きは $-3/4$ である。垂直二等分線は $y-6=-(3/4)(x-2)$ である。
練習 3
Two triangles have angles 40°,60°,80°. One has longest side 9 cm; the other 15 cm. State what is proved and the ratio of their areas.
Reasoning. The triangles are similar by equal angles, not congruent because corresponding longest sides differ. Length ratio is $15/9=5/3$ and larger-to-smaller area ratio is $25/9$.
練習 4
Describe a compass-and-straightedge construction of the perpendicular bisector of segment AB. Give a reason valid for every constructed point, and distinguish it from measuring one diagram. Then explain what SSS proves for triangles with corresponding side lengths 3,4,5 cm.
推論。 AとBを中心として、半径を同じにしABの半分以上にして弧を描き、両側で交わる点をPとQとする。PQを結ぶ。等しい半径より PA=PB, QA=QB となる。したがって P と Q は both A と B から等距離な点の軌道上にあり、PQ は垂直二等分線である。あるいは合同三角形と共通の弦を用いて垂直性と二等分性を確認してもよい。単一の図の定規での読み取りは一般的な軌道を証明しない。SSSは2つの三角形が合同であることを証明し、形状だけでなくサイズも固定する。ピタゴラスの定理はまた、これらの特定の三角形が直角三角形であることを示す。
練習 5
Two parallel lines are cut by a transversal. One corresponding angle is 68°. Find its matching corresponding angle and the adjacent angle on the second line. Explain which given condition justifies each step.
**推理。**平行線により対応角 68°が等しくなる。隣り合う角は一直線の角をなすため、残りは 180°−68°=112°である。等しい対応角の条件は平行線であり、一直線の和の性質は直線上での隣接関係による。平行線なしの類似した図では、最初の等式を正当化できない。
Limits and next use
指定された中心と変換の順序に従う。視覚的に平行または直交しているペアを明示的な条件として用いてはならない。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。