対象範囲と前提条件
ACTフレームワーク、February 2026版改訂。本稿の教室事例は公式のACT形式ではありません。
- 正弦曲線の式における振幅、周期、垂直移動を解釈せよ
- 単位円上の符号と基本恒等式を使用せよ
- 一般三角形に対して、sin、cos、または面積のいずれの関係式を選ぶか決定せよ
前提知識：ラジアン；直角三角形の比；単位円の座標。
説明し、方法を選択する
直角三角形において、sin は対辺/斜辺、cos は隣辺/斜辺、tan は対辺/隣辺である（選択した角に対するもの）。相似三角形により、これらの比が角度に依存し、大きさに依存しないことが説明される。単位円上では座標は (cos θ, sin θ) であり、適切な符号で他の象限への比の拡張が可能である。
sin²θ+cos²θ=1 であり、cos θ≠0 のとき tan θ=sin θ/cos θ となる。y=A sin(Bx)+D （x はラジアン）において、振幅は |A|、周期 2π/|B|、中央線は D である。負の A は波形の反射を表し、D は垂直方向へシフトさせる。グラフ間隔を使用する前に、入力がラジアンか度かを確認せよ。
一般三角形において、余弦定理 c²=a²+b²-2ab cos C は、a と b の間の夹角 C を用いる。正弦定理は各辺与其対応する対角の sin の比を比較する。2辺とその夹角が既知の場合、面積は ab sin C/2 である。与えられた情報に合う関係式を選択せよ。
Do not infer a right angle from the sketch. A sine-based equation may allow more than one angle in a permitted interval; retain the quadrant information and any triangle sum condition. Keep amplitude distinct from total peak-to-trough distance, which is twice the amplitude.
振幅は、最大値と最小値の間の距離の半分です。 $y=A\sin(Bx)+D$ においては、$|A|$ です。ラジアン周期は$2\pi/|B|$ です。 直角でない三角形の場合、余弦定理を選択する前に、既知の辺とその間の角を一致させてください。 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
*中央線 y = 1 からの振幅 3；係数 2 が周期をπにします。
** worked example.** y=3 sin(2x)+1 の振幅は 3、周期は π で、値の範囲は -2 から 4 です。辺 5 と 7 が 60° の角をなす三角形において、残りの辺は $\sqrt{25+49-70(1/2)}=\sqrt{39}$、面積は 35√3/4 です。150° における正弦は 1/2、余弦は -√3/2 です。
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
練習 1
ラジアン入力$y=-4\sin(2x)+3$に対して、振幅、周期、値域、および$x=\pi/4$における値を答えてください。
考察。 振幅は4、周期$2\pi/2=\pi$、値域$-1\le y\le7$ です。$x=\pi/4$ において、$y=-4\sin(\pi/2)+3=-1$ です。負の係数は波形を表しており、振幅を負にするものではありません。
練習 2
ある三角形の辺は 6 cm と 10 cm で、それらが 60° の角をなしています。これが直角三角形であると仮定せずに、残りの辺と面積を求めよ。
考察。 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=(6\,\mathrm{cm})^2+(10\,\mathrm{cm})^2-2(6\,\mathrm{cm})(10\,\mathrm{cm})\cos60^\circ=76\,\mathrm{cm^2}$ なので、$c=2\sqrt{19}\,\mathrm{cm}$ です。$A=ab\sin C/2=(6\,\mathrm{cm})(10\,\mathrm{cm})\sin60^\circ/2=15\sqrt3\,\mathrm{cm^2}$ 。
練習 3
$0^\circ\le\theta<360^\circ$ 内のすべての角度で $\sin\theta=1/2$ を満たすものを見つけます。それぞれについて、余弦と正接を答えます。
** reasoning.** 角度は 30 と 150 度である。余弦は $\sqrt3/2$ と $-\sqrt3/2$、正接は $1/\sqrt3$ と $-1/\sqrt3$ である。第一象限および第二象限では正弦が正であるため、鋭角の解のみを答えるのは不十分である。
練習 4
A right triangle has legs 9 and 12 cm. Find the hypotenuse and sine/cosine of the angle opposite 9 cm. A different triangle has angles 30° and 45° and side 8 cm opposite 30°. Find the side opposite 45°, explaining why the sine rule fits.
** reasoning.** $c=\sqrt{(9\,\mathrm{cm})^2+(12\,\mathrm{cm})^2}=15\,\mathrm{cm}$。したがって $\sin\theta=9/15=3/5$ と $\cos\theta=12/15=4/5$ であり、その平方和は 1 である。二番目の三角形では既知の対辺・対角のペアにより $b/\sin45^\circ=(8\,\mathrm{cm})/\sin30^\circ$ が可能である。よって $b=(8\,\mathrm{cm})(\sqrt2/2)/(1/2)=8\sqrt2\,\mathrm{cm}$ となる。この三角形は直角三角形とは仮定されず、残りの角は 105° である。
Limits and next use
角度の単位を明記し、挟角を特定せよ。最大値は振幅そのものではなく、中央線＋振幅である。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。