対象範囲と前提条件
ACTフレームワーク、February 2026版改訂。本稿の教室事例は公式のACT形式ではありません。
- 関数の値を求め、規則・表・グラフ間を変換する
- 合成における入力の順序と定義域を追跡する
- 関数の定義域を制限して単射とし、その後逆関数を求める
前提知識：関数表記法；代入；方程式の解法。
説明し、方法を選択する
ある関数は、許可された入力に対して1つの出力を与える。垂直線が2つの異なる出力点で曲線と交わるグラフは、x の関数ではない。定義域は許容される入力をリストし、値域は実際に得られる出力をリストする。表を規則に変換できるのは関係性が裏付けられた場合のみであり、各変数の役割も解釈せよ。
f(g(x)) において、内側の関数 g が先に作用し、その出力は f の定義域に含まれている必要がある。f(u)=1/(u-1) および g(x)=x²+1 について、合成すると1/x² となり、x=0 は除外される。定義域の確認は、元の関数だけでなく簡略化された結果についても必要である。
出力の変化 f(x)+k は k だけ上下に移動し、f(x-h) は h だけ右に移動する。外側の係数は出力のスケールを変化させ、内側の係数は入力が旧来の点に到達する速さを変える。符号から方向を推測せず、既知の点を用いて変換を検証せよ。
逆関数は入力と出力を入れ替え、選定した定義域上で一対一の対応が必要である。y=f(x) を x について解き、記号を入れ替える。二次関数は通常、頂点の片側に制限される必要がある。逆関数 f⁻¹ は逆数 1/f ではない。許容された定義域内で両方向の合成を確認せよ。
合成関数は内側の規則を先に適用します。 $f(u)=1/(u-2)$ および $g(x)=x^2+2$ の場合、$f(g(x))=1/x^2$ となり、$x\ne0$ が成立します。 逆関数は、一対一の定義域上で入出力の順序を逆転させます。 $h^{-1}(x)=1+\sqrt{x}$を$x\ge1$に制限してから、$h(x)=(x-1)^2$を取る。
** worked example.** f(x)=2x+3 および g(x)=x² により、f(g(x))=2x²+3 となるが、g(f(x))=(2x+3)² となる。h(x)=(x-2)² を x≥2 に制限した場合、逆関数は 2+√x で、定義域は x≥0 である。h を 4 だけ垂直移動したグラフの頂点は (2,4) であり、 unrestricted な二次関数は一意の逆関数を持たない。
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
練習 1
$f(u)=1/(u-3)$ および $g(x)=x^2+3$ と置きます。定義域を含む $f(g(x))$ を見つけ、$g(f(4))$ を見つけて、なぜこれらの合成関数が異なるかを説明してください。
解説。 $f(g(x))=1/(x^2+3-3)=1/x^2$ 、ただし $x=0$ は除く。他の順序では、$f(4)=1$ と $g(1)=4$ となる。合成の順序は演算および定義域を変化させることがあるため、$f(g(4))=1/16$ は異なる値となる。
練習 2
$h(x)=(x+2)^2$ を$x\le-2$ に制限し、その逆関数を求めよ（定義域と値域を含む）。正の平方根の枝が誤りである理由を説明せよ。
Reasoning. $x+2\le0$ を用いて $y=(x+2)^2$ を解くと $x=-2-\sqrt y$ が得られます。したがって $h^{-1}(x)=-2-\sqrt x$ となり、定義域は $x\ge0$ 、値域は $y\le-2$ です。プラスの平方根の枝は、選ばれた元の定義域外の値を返します。
練習 3
$f(x)=x^2$ のグラフを $g(x)=3f(x+4)-2$ に変形したとき、その頂点と値域を求め、対応する点を1つ確認せよ。
解説。 $g(x)=3(x+4)^2-2$ は頂点 $(-4,-2)$ を持ち、値域は $y\ge-2$ である。旧点 $(1,1)$ は、$3(1)-2=1$ であるため $(-3,1)$ に写像され、代入により $g(-3)=1$ が確認できる。
Limits and next use
合成の順序と制限された逆関数の分岐を維持せよ。関数表記における指数 -1 は逆数（reciprocal）を意味するものではない。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。