Nilai eksak, grafik, dan persamaan trigonometri
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| exact values/eɡˈzækt ˈvæljuːz/ | exact values |
| trig graphs/trɪɡ ɡræfz/ | trig graphs |
| asymptotes/ˈæsɪmptəʊts/ | asimtot |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | symmetry |
Nilai yang harus hafal
- Beberapa nilai trigonometri sangat penting sehingga Anda membutuhkannya tanpa kalkulator. Mereka berasal dari dua segitiga siku-siku khusus: segitiga $45$-$45$-$90$ dan segitiga $30$-$60$-$90$.
Tabel nilai eksak
| $x$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | tak terdefinisi |
Trik ingatan untuk sinus: $0, 1, 2, 3, 4$ di bawah akar dan di atas $2$: $\;\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$. Kosinus adalah kebalikannya.
Roda Ferris: titik pada tepi melacak kurva sinus
Grafik & persamaan trigonometri
(cos θ, sin θ)
Saat θ berubah, sin dan cos melacak gelombang mereka — dan berulang setiap 360°.
Berapakah nilai eksak dari sin 30°? (sebagai desimal)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sin 30° = 1/2 = 0,5.
Berapakah nilai eksak dari tan 45°?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
tan 45° = 1 (sisi berhadapan = sisi berdekatan dalam segitiga 45-45-90).
cos 60° = 1/2.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
cos 60° = 1/2 adalah salah satu nilai eksak utama yang harus hafal.
Grafik trigonometri
- $y = \sin x$ dan $y = \cos x$ adalah gelombang yang berayun antara $-1$ dan $1$.
- $y = \tan x$ berulang setiap $180^{\circ}$ dan memiliki asimtot tegak di $90^{\circ}$ dan $270^{\circ}$.
Grafik trigonometri adalah gelombang — sinus dan kosinus berayun antara $-1$ dan $1$, tangen berulang setiap $180^{\circ}$.
Dua solusi. Persamaan trigonometri biasanya memiliki dua jawaban dalam $0^{\circ}$–$360^{\circ}$. Untuk $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$: $x = 60^{\circ}$ atau $x = 180 - 60 = 120^{\circ}$. Jangan lupa jawaban kedua.
Menyelesaikan Persamaan Trigonometri
- Temukan solusi pertama menggunakan fungsi invers.
- Gunakan simetri grafik untuk menemukan yang kedua:
- Untuk nilai sinus positif di $0^{\circ}\le x<360^{\circ}$, solusi kedua adalah $180^{\circ}-x$; untuk nilai negatif gunakan grafik bagian bawah.
- $\cos x = k$: solusi kedua adalah $360^{\circ} - x$.
Dua segitiga istimewa memberikan nilai eksak: segitiga $45^\circ$ dan segitiga $30^\circ$-$60^\circ$
Selesaikan sin x = √3/2 untuk 0–360°. Satu jawabannya adalah 60°. Apa jawaban lainnya (derajat)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Gelombang sinus simetris terhadap 90°: 180 − 60 = 120°.
Selesaikan 2cos x + 1 = 0 untuk 0–360°. Satu jawabannya adalah 120°. Apa jawaban lainnya (derajat)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cos x = −1/2 menghasilkan x = 120° atau 360 − 120 = 240°.
Jika sin x = k memiliki satu jawaban x = 40°, jawaban keduanya adalah 180 − ______ = ______°.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Solusi sinus kedua adalah 180° − 40° = 140°.
Contoh kerja
- $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = 60^{\circ}$ atau $120^{\circ}$.
- $2\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 120^{\circ}$ atau $240^{\circ}$.
Nilai trigonometri negatif dan persamaan tangen
- Di $0^{\circ}\le x<360^{\circ}$, $\sin x=-1/2$ bernilai negatif di bawah sumbu horizontal: $x=210^{\circ},330^{\circ}$. Nilai kalkulus $-30^{\circ}$ harus diganti dengan ekuivalennya $330^{\circ}$ di dalam interval yang diminta.
- Tangen berulang setelah $180^{\circ}$: $\tan x=1$ menghasilkan $x=45^{\circ},225^{\circ}$ pada interval ini. Pada $0$, $90$, $180$, $270$, dan $360^{\circ}$, periksa nilai batas dan nilai yang tidak terdefinisi daripada mengasumsikan setiap persamaan memiliki tepat dua solusi.
Temukan solusi yang lebih kecil dari sin x = −1/2 untuk 0° ≤ x < 360°.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Sine bernilai negatif di kuadran III dan IV; solusinya adalah 210° dan 330°.
Anda telah memahaminya
- hafalkan nilai eksak: $\sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}$, $\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}$, $\tan 45^{\circ} = 1$
- gelombang sinus dan kosinus berjalan antara $-1$ dan $1$
- persamaan trigonometri biasanya memiliki dua jawaban dalam $0^{\circ}$–$360^{\circ}$