Garis sejajar dan tegak lurus
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| parallel/ˈpærəlel/ | Paralel |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | Tegak lurus |
| negative reciprocal/ˈneɡətɪv rɪˈsɪprəkl/ | Resiprokal negatif |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | Bisektor tegak lurus |
Rel kereta api dan kota berpetak
- Rel kereta api berjalan sejajar — gradien yang sama, tidak pernah bertemu, membentang hingga cakrawala.
- Jalan-jalan di kota terencana seperti New York atau Barcelona saling berpotongan pada sudut tegak lurus, membentuk petak-petak.
- Kedua konsep — sejajar dan tegak lurus — bersumber dari satu hal: gradien.
Garis sejajar
- Garis sejajar tidak pernah bertemu, tidak peduli seberapa jauh Anda memperpanjangnya.
- Garis nonvertikal yang berbeda sejajar jika memiliki gradien yang sama. Garis vertikal juga sejajar, tetapi tidak memiliki gradien yang terdefinisi.
- $y = 4x - 1$ dan $y = 4x + 7$ sejajar (keduanya memiliki $m = 4$).
Temukan garis sejajar. Garis yang sejajar dengan $y = 4x - 1$ melalui $(1, -3)$: memiliki gradien yang sama $4$, sehingga $-3 = 4(1) + c \Rightarrow c = -7$. Persamaannya adalah $y = 4x - 7$.
Garis sejagar memiliki gradien yang sama; gradien tegak lurus dikalikan menghasilkan $-1$
Sejajar & tegak lurus
y = ax + b
Sejajar garis berbagi gradien; tegak lurus gradien dikalikan menghasilkan −1.
Sebuah garis sejajar dengan y = 4x − 1 dan melalui titik (1, −3). Dalam y = 4x + c, berapakah nilai c?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Sejajar → gradien yang sama yaitu 4. −3 = 4(1) + c, sehingga c = −7.
Garis mana yang sejajar dengan y = −2x + 5?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Garis sejajar memiliki gradien yang sama. y = −2x − 3 memiliki gradien −2, sama dengan y = −2x + 5.
Garis Tegak Lurus (Lanjutan)
- Dua garis tegak lurus jika bertemu pada sudut siku-siku ($90°$).
- Gradien mereka dikalikan menghasilkan $-1$:
- Dengan kata lain: balik pecahan dan ubah tanda (kebalikan negatif).
- Gradien $\dfrac{3}{2}$ → gradien tegak lurus $-\dfrac{2}{3}$.
Sejagar (sian): gradien sama. Tegak lurus (mawar + ungu): gradien dikalikan menghasilkan $-1$.
Sebuah garis memiliki gradien 3/2. Gradien dari garis yang tegak lurus dengannya adalah:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Balik dan ganti tanda: gradien tegak lurus = −1 ÷ (3/2) = −2/3.
Dua garis tegak lurus memiliki gradien yang dikalikan menghasilkan −1.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
m₁ × m₂ = −1 adalah sifat penentu dari gradien tegak lurus.
Jika dua garis saling tegak lurus, maka m₁ × m₂ = ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Hasil kali dari gradien yang saling tegak lurus selalu −1.
Contoh terpecahkan — garis tegak lurus
- Temukan garis yang tegak lurus terhadap $y = 2x + 3$ melalui $(4, 1)$.
- Gradien asli $m_1 = 2$, sehingga gradien tegak lurus $m_2 = -\dfrac{1}{2}$.
- Substitusikan: $1 = -\dfrac{1}{2}(4) + c \Rightarrow 1 = -2 + c \Rightarrow c = 3$.
- Garis tegak lurusnya adalah $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$.
Jangan lupa kedua langkahnya. Gradien tegak lurus adalah balik DAN ubah tanda. Gradien $3$ → tegak lurus $-\dfrac{1}{3}$ (bukan $\dfrac{1}{3}$, yang hanyalah kebalikan biasa).
Sebuah garis memiliki gradien 5. Berapakah gradien dari garis yang tegak lurus dengannya?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Gradien tegak lurus = −1/5 = −0.2.
Garis Bagi Tegak Lurus (Lanjutan)
- Garis bagi tegak lurus dari sebuah segmen memotongnya tepat di tengah pada sudut siku-siku.
- Metode (tiga langkah):
- 1. Temukan titik tengah segmen tersebut.
- 2. Temukan gradien tegak lurus ($-\dfrac{1}{m}$).
- 3. Gunakan gradien tegak lurus dan titik tengah untuk menuliskan persamaannya.
Pasangkan setiap pasangan gradien (m₁, m₂) dengan hubungan antar garisnya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2/3 × (−3/2) = −1 → tegak lurus. 4 = 4 → sejajar. 1 × (−1) = −1 → tegak lurus. 5 × (−5) = −25 ≠ −1 dan 5 ≠ −5 → keduanya.
Susun langkah-langkah untuk mencari garis bagi tegak lurus dari (0, 0) dan (6, 2) secara berurutan.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
Pertama cari titik tengah, lalu gradien segmen, kemudian balik-tanda untuk gradien tegak lurus, terakhir substitusikan ke dalam y = mx + c.
Perencana kota dan aturan gradien
- Grid Manhattan direncanakan pada tahun 1811 dengan jalan raya berjalan utara-selatan dan jalan-jalan timur-barat — semuanya saling tegak lurus.
- Sebaliknya, kota-kota Eropa tua memiliki jalan-jalan yang bertemu pada berbagai sudut — tanpa aturan gradien sama sekali.
- Insinyur menggunakan gradien tegak lurus untuk merancang persimpangan jalan, lintasan kereta api, dan fondasi bangunan.
Anda telah memahaminya
- sejagar → gradien sama ($m_1 = m_2$)
- tegak lurus → gradien dikalikan menghasilkan $-1$ ($m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$, "balik dan ubah tanda")
- garis bagi tegak lurus = gradien tegak lurus melalui titik tengah
- sejagar dengan $y = 4x - 1$ melalui $(1, -3)$ → $y = 4x - 7$