Pembahagian
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| calculus/ˈkælkjʊləs/ | kalkulus |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | turunan |
| differentiate/ˌdɪfəˈrenʃɪeɪt/ | menurunkan |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | titik stasioner |
Gradien yang berubah
- Garis lurus memiliki satu gradien di setiap tempat. Kurva memiliki gradien yang berbeda di setiap titik.
- Newton dan Leibniz menciptakan kalkulus untuk menjawab: "Apa gradien dari kurva tepat di sini?" Jawabannya adalah turunan.
Aturan pangkat
- Jika $y = ax^n$, maka $\dfrac{dy}{dx} = an\,x^{n-1}$.
- Dalam kata-kata: turunkan pangkat ke depan, lalu kurangi satu.
$y = x^3 + 2x^2 - 5x \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 5$. Turunkan suku demi suku — setiap suku diperlakukan secara independen.
Gradien dari kurva pada suatu titik adalah gradien dari garis singgung di sana, yang merupakan hasil dari diferensiasi
Gradien pada suatu titik
gradien = dy/dx
Geser titik tersebut — kemiringan garis singgung adalah gradien di titik itu.
Jika y = x³ + 2x² − 5x, maka dy/dx = 3x² + 4x − 5. Berapakah nilainya pada x = 1?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3(1)² + 4(1) − 5 = 3 + 4 − 5 = 2.
Untuk y = axⁿ, di mana n adalah bilangan bulat positif, diferensiasi menghasilkan:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Turunkan pangkatnya dan kurangi dengan 1: a·n·xⁿ⁻¹.
Jika y = 4x³, berapakah dy/dx pada x = 2?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx = 12x². Pada x = 2: 12(4) = 48.
Turunan dari y = x⁵ adalah dy/dx = ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Aturan pangkat: turunkan angka 5, kurangi pangkatnya: 5x⁴.
Kasus khusus
- $y = c$ (konstanta) → $\dfrac{dy}{dx} = 0$ (garis horizontal memiliki nol gradien).
- $y = cx$ → $\dfrac{dy}{dx} = c$ (garis lurus memiliki gradien konstan).
- Aturan pangkat IGCSE di sini menggunakan pangkat bilangan bulat nonnegatif dan jumlah maksimal tiga suku; menurunkan fungsi resiprokal berada di luar silabus ini.
Jangan lupa suku konstanta. Turunan dari $x^2 + 7$ adalah $2x$, bukan $2x + 7$. Turunan dari konstanta selalu nol.
Turunan dari y = x² + 7 adalah 2x + 7.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Turunan dari konstanta adalah 0. Jadi dy/dx = 2x, bukan 2x + 7.
Titik stasioner
- Titik stasioner adalah tempat $\dfrac{dy}{dx} = 0$ — kurva menjadi datar sesaat.
- $y = x^2 - 6x + 5 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$.
- Pada $x = 3$: $y = 9 - 18 + 5 = -4$. Titik belok: $(3, -4)$.
Titik stasioner adalah di mana kurva menjadi datar sesaat — gradien (turunan) sama dengan nol.
Kurva y = x² − 6x + 5 memiliki titik belok. Pada nilai x berapa (dy/dx = 0)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx = 2x − 6 = 0 memberikan x = 3.
Mengapa diferensiasi penting
- Fisika: kecepatan adalah turunan dari posisi; percepatan adalah turunan dari kecepatan.
- Ekonomi: biaya marjinal adalah turunan dari biaya total — biaya untuk satu unit tambahan.
- Optimalisasi: untuk memaksimalkan keuntungan atau meminimalkan biaya, set turunan menjadi nol.
Garis singgung memperkirakan gradien kurva
- Gambar garis singgung yang menyinggung kurva pada titik yang diminta, kemudian pilih dua titik jelas pada garis singgung, bukan dua titik sembarang pada kurva. Hitung kenaikan dibagi dengan lompatan.
- Untuk $y=x^2$ pada $(2,4)$, garis singgung melalui $(1,0)$ dan $(3,8)$ memiliki $m=(8-0)/(3-1)=4$. Diferensiasi mengkonfirmasi $dy/dx=2x=4$ pada $x=2$.
Sebuah garis singgung melalui (1,0) dan (3,8). Tentukan gradiennya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Kenaikan 8 dibagi dengan penurunan 2 menghasilkan 4.
Minimum atau maksimum?
- Untuk $y=x^2-6x+5$, turunan adalah $2x-6$. Nilainya negatif di $x=2$, nol di 3 dan positif di 4: turun lalu naik berarti minimum di $(3,-4)$.
- Untuk $y=-x^2+4x+1$, $dy/dx=-2x+4$. Positif di 1 dan negatif di 3 berarti maksimum di $x=2$, di mana $y=5$.
Untuk y = −x² + 4x + 1, tentukan koordinat-y dari nilai maksimumnya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx = −2x + 4 bernilai nol pada x = 2; y = −4 + 8 + 1 = 5.
Anda telah memahaminya
- aturan pangkat: $y = ax^n \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = an\,x^{n-1}$
- turunkan penjumlahan suku demi suku; turunan dari konstanta adalah nol
- titik stasioner adalah di mana $\dfrac{dy}{dx} = 0$
- $y = x^3 + 2x^2 - 5x \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 5$