Barisan
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| sequence/ˈsiːkwəns/ | barisan |
| term-to-term rule/tɜːm tə tɜːm ruːl/ | peraturan suku-ke-suku |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | beda bersama |
| nth term/ˌenˌtiːˈeɪtʃ tɜːm/ | suku ke-n |
| quadratic sequence/kwɒˈdrætɪk ˈsiːkwəns/ | barisan kuadratik |
| geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ | barisan geometri |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | rasio bersama |
Memprediksi masa depan
- Bunga matahari menambahkan cincin kelopak mengikuti pola Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
- Barisan adalah pola dalam angka. once Anda mengetahui aturannya, Anda dapat memprediksi semua suku — bahkan suku yang jutaan.
Aturan suku-ke-suku
- Barisan paling sederhana menambah (atau mengurangi) jumlah tetap setiap kali: $2, 5, 8, 11, \dots$ naik sebesar $3$.
- Ini adalah aturan suku-ke-suku (selisih umum).
Brokoli Romanesco: spiral swa-similiar membentuk pola angka alami
Barisan
uₙ = a + (n − 1)d
Barisan aritmatika menambahkan langkah yang sama setiap kali; jumlah tumbuh secara stabil.
Suku ke-n (aturan posisi-ke-suku)
- Untuk barisan linear (selisih konstan $d$), suku ke-n adalah $dn + c$.
- $2, 5, 8, 11, \dots$: selisih $d = 3$, suku pertama $= 2$, sehingga $3n - 1$.
- Cek: $n=1 \Rightarrow 3(1)-1 = 2$ ✓; $\;n=4 \Rightarrow 3(4)-1 = 11$ ✓.
Mencari c. Barisan dimulai pada $2$ ketika $n=1$: $3(1) + c = 2 \Rightarrow c = -1$. Jadi suku ke-n adalah $3n - 1$.
Suku ke-n dari 2, 5, 8, 11, … adalah 3n − 1. Berapakah suku ke-10?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3 × 10 − 1 = 30 − 1 = 29.
Untuk barisan linear yang naik sebanyak 3 setiap kali, suku ke-n mengandung:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Perbedaan konstan sebesar 3 berarti suku ke-n adalah 3n yang disesuaikan dengan konstanta.
Suku ke-n dari 4, 7, 10, 13, … adalah 3n + ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
3(1) + c = 4 → c = 1. Suku ke-n adalah 3n + 1.
Barisan kuadrat sederhana
- Ketika selisih pertama berubah tetapi selisih kedua konstan, itu adalah barisan kuadratik.
- $2, 5, 10, 17, \dots$: selisih pertama $3, 5, 7$; selisih kedua $2, 2$.
- Koefisien $n^2$ adalah setengah dari selisih kedua: $\dfrac{2}{2} = 1$, sehingga suku $n^2$ adalah $n^2$.
- Sesuaikan: $n^2 + 1$ menghasilkan $2, 5, 10, 17$. ✓
Garis bilangan juga menunjukkan pola: dalam barisan kuadratik, celah antar suku meningkat secara konsisten.
Setengah dari selisih kedua. Koefisien $n^2$ adalah $\dfrac{\text{second difference}}{2}$, bukan selisih kedua itu sendiri. Untuk $2, 5, 10, 17$ selisih keduanya adalah $2$, menghasilkan $n^2$ (bukan $2n^2$).
Suku ke-n dari 2, 5, 10, 17, … adalah n² + 1. Berapakah suku ke-5?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
5² + 1 = 25 + 1 = 26.
Dalam barisan kuadrat, selisih kedua adalah konstan.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Selisih pertama berubah secara stabil, tetapi selisih kedua (selisih dari selisih) adalah konstan.
Barisan geometri
- Setiap suku dikali dengan rasio tetap: $3, 6, 12, 24, \dots$ (kalikan dengan 2 setiap kali).
- Suku ke-n adalah $a \times r^{n-1}$, di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio umum.
- $3 \times 2^{n-1}$: $\;n=1 \Rightarrow 3$, $\;n=4 \Rightarrow 3 \times 8 = 24$. ✓
Suku ke-n dari 3, 6, 12, 24, … adalah 3 × 2^(n−1). Berapakah suku ke-6?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3 × 2⁵ = 3 × 32 = 96.
求数列 uₙ = n³ + 2 的第五项。
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
5³ + 2 = 125 + 2 = 127.
Kubus dan pemeriksaan suku-ke-n
- Inti mencakup barisan kubik sederhana. $3,10,29,66$ adalah 2 lebih banyak daripada $1^3,2^3,3^3,4^3$, sehingga $u_n=n^3+2$. Suku kelima adalah $u_5=125+2=127$.
- Untuk $u_n=4n+3$, menguji apakah 100 merupakan suku menghasilkan $4n+3=100$, sehingga $n=24.25$. Angka suku haruslah bilangan bulat positif, jadi 100 tidak ada dalam barisan ini.
Anda telah memahaminya
- barisan linear: suku ke-n $= dn + c$ (selisih konstan $d$) → $2,5,8,11 \to 3n-1$
- kuadrat sederhana: beda kedua $= 2 \times$ koefisien $n^2$ → $2,5,10,17 \to n^2 + 1$
- geometri: suku ke-n $= a \times r^{n-1}$ (rasio konstan $r$) → $3,6,12,24 \to 3 \times 2^{n-1}$