Persamaan

Seni kuno menyeimbangkan

• Kata "persamaan" berasal dari "equal" (sama) — kedua ruas harus sama, seperti timbangan.
• Orang Babilon menyelesaikan persamaan linear 4000 tahun lalu menggunakan tablet tanah liat. Hari ini kita menggunakan prinsip yang sama: lakukan hal yang sama pada kedua ruas.

Persamaan linear

• Selesaikan dengan melakukan operasi yang sama pada kedua ruas hingga variabel tak diketahui sendirian.
• $3x + 7 = 22 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$.

Selesaikan dengan melakukan hal yang sama pada kedua ruas

Sistem persamaan simultan

• Dua persamaan, dua variabel tak diketahui. Eliminasi satu variabel dengan menjumlahkan atau mengurangkan.
• $2x + y = 7$ dan $3x - y = 8$: penjumlahan menghasilkan $5x = 15$, sehingga $x = 3$, lalu $y = 1$.

Persamaan kuadrat (Lanjutan)

• Sebuah persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dapat memiliki dua, satu, atau nol solusi real.
• Dengan memfaktorkan: $x^2 + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x+2)(x+3) = 0 \Rightarrow x = -2$ atau $x = -3$.
• Dengan rumus: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ (diberikan dalam ujian).

Akar dari persamaan kuadrat adalah tempat parabola memotong sumbu $x$ — solusi dari $y = 0$.

Pangkat dalam menyusun semula rumus (Lanjutan)

• Jadikan sebuah huruf sebagai subjek dengan membalikkan operasi yang diterapkan padanya.
• Jadikan $r$ subjek dari $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$: $\;r^3 = \dfrac{3V}{4\pi}$, sehingga $r = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}$.

Bangun persamaan, lalu pilih metode

• Masalah tiket memberikan $2a+c=31$ dan $a+2c=26$. Gandakan yang kedua dan kurangi yang pertama: $3c=21$, sehingga $c=7$, lalu $a=12$. Periksa kedua total awal.
• Penyusunan ulang inti: $C=5t+8$ menghasilkan $C-8=5t$, lalu $t=(C-8)/5$. Subjek muncul sekali dan tidak memiliki pangkat atau akar.

Melengkapi kuadrat dan rumus (Lanjutan)

• $x^2+6x+5=0$ menjadi $(x+3)^2-4=0$, sehingga $x+3=\pm2$, menghasilkan $x=-1,-5$.
• Untuk $2x^2+x-3=0$, pilih $a=2,b=1,c=-3$ dalam $x=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/(2a)$. Dengan demikian $x=(-1\pm5)/4=1,-1.5$. Substitusi memeriksa setiap akar.

Persamaan pecahan (Lanjutan)

• Untuk $x/(x+2)=3/5$, eksklusi $x=-2$. Kalikan dengan $5(x+2)$: $5x=3(x+2)$, sehingga $2x=6$ dan $x=3$. Periksa $3/5=3/5$.
• Untuk $2/(x+1)+1/(x-1)=1$, eksklusi $x=-1,1$. Kalikan seluruh ruas dengan $(x+1)(x-1)$: $2(x-1)+(x+1)=x^2-1$. Ini menghasilkan $x^2-3x=0$, sehingga $x=0$ atau 3; keduanya diperbolehkan.

Satu garis dan satu kurva (Lanjutan)

• Selesaikan $y=x+2$ dan $y=x^2$ dengan mensubstitusikan: $x^2=x+2$, sehingga $(x-2)(x+1)=0$. Dengan demikian $x=2$ atau $-1$.
• Temukan $y$ yang sesuai untuk masing-masing: pasangan-pasengannya adalah $(2,4)$ dan $(-1,1)$. Jangan mencampur satu akar dengan nilai $y$ dari akar lainnya.

Subjek yang muncul dua kali (Lanjutan)

• Susun ulang $y=(3x+2)/(x-1)$ untuk $x$: $y(x-1)=3x+2$, kemudian $yx-3x=y+2$.
• Faktorkan subjek: $x(y-3)=y+2$, menghasilkan $x=(y+2)/(y-3)$, $y\ne3$. Aslinya juga mensyaratkan $x\ne1$.

Anda telah memahaminya