Pertumbuhan dan peluruhan eksponensial
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | pertumbuhan eksponensial |
| compound/ˈkɒmpaʊnd/ | majemuk |
| decay/dɪˈkeɪ/ | peluruhan |
| depreciation/dɪˌpriːʃɪˈeɪʃn/ | depresiasi |
| half-life/hɑːf laɪf/ | waktu paruh |
Satu bakteri menjadi miliaran
- Bakteri membelah setiap 20 menit. Setelah 10 jam (30 pembelahan), satu sel menjadi $2^{30} \approx 1\,073\,741\,824$ — lebih dari satu miliar.
- Itu adalah pertumbuhan eksponensial: kenaikan persentase yang sama setiap periode, majemuk.
- Pertumbuhan linear menambah jumlah tetap; pertumbuhan eksponensial mengalikan — dan selalu menang pada akhirnya.
Rumus majemuk
- Ketika suatu kuantitas berubah dengan persentase yang sama setiap periode:
- $P$ = nilai awal, $r$ = tingkat persentase per periode, $t$ = jumlah periode.
- Pertumbuhan: $r > 0$; peluruhan: $r < 0$ (atau gunakan multiplier di bawah 1).
Pertumbuhan eksponensial (kurva) mulai lambat tetapi akhirnya jauh melampaui pertumbuhan linear (garis lurus).
Bunga majemuk
Uang bertambah sebesar (1 + r) setiap tahun, sehingga kurva bunga majemuk berada di atas bunga tunggal. Seret tingkat dan jumlah tahun.
Pertumbuhan & peluruhan eksponensial
y = a·bˣ
Ubah basis b: b > 1 bertumbuh, 0 < b < 1 meluruh — berguna untuk bunga dan populasi.
Sebuah mobil kehilangan 15% dari nilainya setiap tahun. Pengali tahunan manakah yang Anda gunakan?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Kehilangan 15% menyisakan 85%, jadi pengalinya adalah 0.85.
Depresiasi nilai mobil setiap tahun merupakan contoh dari:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kehilangan persentase tetap setiap tahun adalah peluruhan eksponensial (pengali < 1, diterapkan berulang kali).
Rumus pertumbuhan majemuk adalah: akhir = P × (1 + ______)^t, di mana r adalah tingkat persentase.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tingkat r% harus dikonversi ke desimal: r/100. Jadi pengalinya adalah (1 + r/100).
Peluruhan eksponensial dan penyusutan
- Peluruhan bekerja dengan cara yang sama dengan multiplier di bawah 1.
- Mobil bernilai 20 000 kehilangan 15% setiap tahun → pengali $0.85$.
- Setelah 4 tahun: $20\,000 \times 0.85^4 = 20\,000 \times 0.5220 \approx 10\,440$.
Waktu paruh. Isotop radioaktif meluruh 10% per tahun. "Waktu paruh" (waktu untuk berkurang setengah) adalah $\dfrac{\ln 2}{\ln(1/0.9)} \approx 6.6$ tahun — Anda dapat menemukannya dengan menyelesaikan $0.9^t = 0.5$.
Sebuah kereta bernilai 20000 mengalami penurunan nilai 15% setiap tahun. Nilainya selepas 4 tahun (ke terdekat 10) ialah:
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
20000 × 0.85⁴ = 20000 × 0.5220 ≈ 10440.
Contoh kerja
- Populasi 5000 tumbuh 8% per tahun. Setelah 6 tahun:
- $5000 \times 1.08^6 = 5000 \times 1.5869 \approx 7934$.
Majemuk ≠ tunggal. 8% per tahun selama 6 tahun bukanlah $8 \times 6 = 48\%$ total (itu akan memberikan $5000 \times 1.48 = 7400$). Majemuk memberikan $58.7\%$ total — hampir 11% lebih banyak, karena pertumbuhan setiap tahun menghasilkan pertumbuhan juga.
Populasi 5000 tumbuh 8% per tahun. Berapakah populasinya setelah 6 tahun (bilangan bulat terdekat)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
5000 × 1.08⁶ = 5000 × 1.5869 ≈ 7934.
Pertumbuhan 8% per tahun selama 6 tahun memberikan total peningkatan tepat 48%.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Bunga majemuk menghasilkan 1.08⁶ ≈ 1.587, peningkatan 58.7% — lebih banyak daripada 48% karena pertumbuhan menghasilkan pertumbuhan.
Di mana pertumbuhan eksponensial muncul
- Epidemi: penyebaran awal sering kali eksponensial (setiap orang yang terinfeksi menginfeksi orang lain).
- Investasi: bunga majemuk adalah pertumbuhan eksponensial uang Anda.
- Teknologi: Hukum Moore memprediksi penggandaan kekuatan komputasi setiap ~2 tahun selama beberapa dekade.
Anda telah memahaminya
- perubahan eksponensial menggunakan rumus majemuk $P(1 + r/100)^t$
- pertumbuhan = faktor pengali $> 1$; penurunan/depresiasi = faktor pengali $< 1$
- kerugian tahunan 15% → multiplier $0.85$; setelah 4 tahun: $20\,000 \times 0.85^4 \approx 10\,440$
- eksponensial selalu mengalahkan linear pada akhirnya — majemuk menghasilkan pertumbuhan atas pertumbuhan