Surd (akar tak rasional)

Angka yang memecah hati orang Yunani

• Diagonal persegi satuan adalah $\sqrt{2} \approx 1.41421356\dots$ — angkanya tidak pernah berulang dan tidak pernah habis.
• Tidak ada pecahan yang sama persis dengannya. Itulah sebabnya kita menyebutnya akar bentuk surd: akar irasional yang dibiarkan dalam bentuk eksaknya.

Apa itu surd?

• Surd adalah akar yang tidak dapat disederhanakan menjadi bilangan rasional.
• $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt[3]{10}$ adalah surd — mereka irasional.
• $\sqrt{4} = 2$ dan $\sqrt[3]{27} = 3$ bukan surd — mereka disederhanakan menjadi bilangan bulat.

Surd berasal dari diagonal: persegi $1 \times 1$ memiliki diagonal $\sqrt{2}$; persegi $2 \times 2$ memiliki diagonal $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Aturan surd

• $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ — gabungkan di bawah satu akar.
• $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ — bagi di bawah satu akar.
• Sederhanakan dengan mengeluarkan faktor kuadrat sempurna terbesar:

Merasionalkan penyebut

• Pecahan dengan surd di penyebut belum dalam bentuk termudah.
• Kalikan pembilang dan penyebut dengan surd tersebut untuk menghilangkannya dari bagian bawah:

Mengapa mempertahankan surd tetap eksak?

• $\sqrt{2} \approx 1.414$ adalah perkiraan; $\sqrt{2}$ adalah eksak.
• Dalam teknik dan fisika, pembulatan terlalu dini menyebabkan akumulasi kesalahan — mempertahankan surd menjaga akurasi melalui perhitungan panjang.

Akar serupa dan penyebut dua suku

• Sederhanakan setiap akar terlebih dahulu: $\sqrt{200}-\sqrt{32}=10\sqrt2-4\sqrt2=6\sqrt2$. Gabungkan hanya bagian akar yang sesuai.
• Untuk $1/(\sqrt3-1)$ kalikan dengan konjugat $\sqrt3+1$: penyebutnya adalah $(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=3-1=2$. Dengan demikian hasilnya adalah $(\sqrt3+1)/2$; pecahan pengali sama dengan 1.

Anda telah memahaminya