Himpunan
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| set/set/ | himpunan |
| elements/ˈelɪmənts/ | elemen |
| universal set/ˌjuːnɪˈvɜːsl set/ | himpunan semesta |
| empty set/ˈempti set/ | himpunan kosong |
| intersection/ˌɪntəˈsekʃn/ | irisan |
| union/ˈjuːnɪən/ | gabungan |
| complement/ˈkɒmplɪmənt/ | pelengkap |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | diagram Venn |
Kelas 2024
- Sebuah sekolah memiliki 30 siswa. 18 belajar Prancis, 12 belajar Spanyol, dan 5 belajar keduanya.
- Berapa banyak yang belajar tidak keduanya? Anda tidak bisa hanya menjumlahkan — Anda butuh himpunan.
- Himpunan adalah bahasa pengelompokan, dan ia menjadi dasar segala hal mulai dari basis data hingga probabilitas.
Apa itu himpunan?
- Himpunan adalah kumpulan objek yang berbeda (elemen atau anggota).
- Ditulis dengan kurung kurawal: $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
- $3 \in A$ berarti "$3$ adalah elemen dari $A$"; $7 \notin A$ berarti "$7$ bukan".
- Himpunan semesta $\xi$ berisi semua sesuatu yang sedang dibahas. Himpunan kosong $\emptyset$ tidak memiliki elemen.
$A\cap B=\{6\}$ adalah satu-satunya angka di kedua lingkaran; $A\cup B$ adalah semua yang ada di dalam salah satu lingkaran
Operasi himpunan pada diagram Venn
Diagram Venn menunjukkan dua himpunan. Geser melalui operasi untuk melihat wilayah mana yang diarsir oleh gabungan, irisan, dan komplemen.
Himpunan kosong ∅ adalah himpunan bagian dari setiap himpunan.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Himpunan kosong tidak memiliki elemen, sehingga secara trivial terkandung dalam setiap himpunan.
Irisan dan gabungan
- Irisan $A \cap B$: elemen di kedua $A$ dan $B$.
- Gabungan $A \cup B$: elemen di $A$ atau $B$ (atau keduanya).
- Komplemen $A'$: semua yang ada di himpunan semesta yang tidak ada di $A$.
$A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$. Kemudian $A \cap B = \{3, 4\}$ dan $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
A = {2,4,6,8,10} dan B = {3,6,9}. Berapa banyak elemen dalam A ∩ B?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Hanya 6 yang ada di kedua himpunan, jadi A ∩ B = {6}, yang memiliki 1 elemen.
Untuk A dan B yang sama, berapa banyak elemen dalam A ∪ B?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A ∪ B = {2,3,4,6,8,9,10}, yang memiliki 7 elemen.
Simbol ∩ berarti:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
∩ adalah irisan (elemen di A dan B); ∪ adalah gabungan.
Diagram Venn
- Diagram Venn menggambar himpunan sebagai lingkaran yang saling tumpang tindih di dalam persegi panjang (himpunan semesta).
- Daerah tumpang tindih = irisan; semua yang ada di dalam lingkaran = anggota himpunan tersebut.
Diagram Venn menunjukkan hubungan antar himpunan — di sini, setiap bilangan natural juga merupakan bilangan integer dan rasional.
Jangan hitung ganda. Saat mencari $n(A \cup B)$, gunakan $n(A) + n(B) - n(A \cap B)$. Irisan dihitung sekali di setiap himpunan, jadi kurangi sekali.
Contoh kerja
- 30 siswa, $F =$ Prancis (18), $S =$ Spanyol (12), $F \cap S = 5$.
- $n(F \cup S) = 18 + 12 - 5 = 25$.
- Neither $= 30 - 25 = 5$ siswa tidak mempelajari bahasa mana pun.
n(A) = 5, n(B) = 3, n(A ∩ B) = 1. Temukan n(A ∪ B).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 5 + 3 − 1 = 7.
Di kelas 30 siswa, 18 belajar Prancis, 12 belajar Spanyol, dan 5 belajar keduanya. Berapa banyak yang tidak belajar keduanya?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
n(F ∪ S) = 18 + 12 − 5 = 25. Tidak keduanya = 30 − 25 = 5.
Tiga himpunan (Diperluas)
- Dalam diagram Venn tiga himpunan, isi tumpang tindih tiga pertama, kemudian bagian yang hanya milik tepat dua himpunan, lalu wilayah himpunan tunggal. Jika $n(A\cap B)=7$ mencakup 2 di ketiga himpunan, wilayah hanya AB adalah $7-2=5$.
- Untuk $n(A)=12,n(B)=10,n(C)=9$, pasangkan irisan AB=4, AC=3, BC=2 dan tiga=1, gabungannya adalah $n(A\cup B\cup C)=12+10+9-4-3-2+1=23$. Tumpang tindih tiga ditambahkan kembali karena tiga pengurangan pasangan telah menghilangkannya terlalu sering.
Ukuran himpunan adalah 12,10,9; irisan pasangan 4,3,2; irisan tiga ⟨1⟩. Temukan ukuran gabungan.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tambahkan tunggal, kurangi semua pasangan, tambahkan tiga: 31−9+1 = 23.
Anda telah memahaminya
- $A \cap B$ = irisan (kedua; either or both); $A \cup B$ = gabungan (either or both; both); $A'$ = komplemen
- $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ — kurangi tumpang tindih
- Diagram Venn menunjukkan hubungan himpunan secara visual; persegi panjang adalah himpunan semesta
- $\emptyset$ = himpunan kosong; $\xi$ = himpunan semesta