Jenis angka

Pertanyaan yang membingungkan orang Yunani kuno

• Apakah setiap bilangan adalah pecahan? Orang Yunani berpikir ya — sampai seseorang membuktikan $\sqrt{2}$ tidak bisa ditulis sebagai $\dfrac{a}{b}$.
• Legenda mengatakan penemu itu dilempar ke laut karena mengungkapkan kebenaran yang tidak nyaman ini.
• Hari ini kita mengelompokkan bilangan ke dalam keluarga, dan pemisahan ini — rasional vs irasional — masih menjadi yang terbesar.

Keluarga bilangan

• Bilangan asli $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ — bilangan untuk menghitung (beberapa definisi termasuk $0$).
• Bilangan bulat $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$ — bilangan bulat, positif, negatif, dan nol.
• Bilangan rasional $\mathbb{Q}$ — segala sesuatu yang dapat ditulis $\dfrac{a}{b}$ di mana $a, b$ adalah bilangan bulat dan $b \neq 0$.
• Bilangan irasional — segalanya yang lain ($\pi$, $\sqrt{2}$, $e$): mereka tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan.

Alam → Bulat → Rasional, masing-masing keluarga yang lebih besar. Bilangan irasional tinggal di luar.

Faktor, kelipatan, dan prima

• Sebuah faktor dari $n$ membagi $n$ secara pas. Faktor-faktor dari $12$: $1, 2, 3, 4, 6, 12$.
• Sebuah kelipatan dari $n$ adalah $n \times$ kali bilangan bulat. Kelipatan-kelipatan dari $5$: $5, 10, 15, 20, \dots$.
• Sebuah prima memiliki tepat dua faktor: $1$ dan dirinya sendiri.
• $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$ adalah prima. $1$ bukan prima (hanya satu faktor).

Setiap bilangan alam adalah bilangan bulat, setiap bilangan bulat adalah rasional, dan setiap bilangan rasional adalah riil; bilangan irasional seperti $\pi$ dan $\sqrt{2}$ adalah riil tetapi bukan rasional

Faktorisasi prima, FPB, dan KPK

• Tuliskan bilangan sebagai perkalian prima: $72 = 2^3 \times 3^2$, $120 = 2^3 \times 3 \times 5$.
• FPB (Faktor Persekutuan Terbesar): ambil pangkat terendah dari setiap prima persekutuan.
• FPB dari $72$ dan $120$ $= 2^3 \times 3 = 24$.
• KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil): ambil pangkat tertinggi dari setiap prima yang muncul.
• KPK dari $72$ dan $120$ $= 2^3 \times 3^2 \times 5 = 360$.

Lanjutkan pemecahan hingga setiap cabang berakhir pada bilangan prima (dilingkari); pengumpulan hasilnya menghasilkan $72 = 2^3 \times 3^2$

Fakta menarik

• Ada tak hingga banyaknya bilangan prima (Euclid membuktikannya sekitar tahun 300 SM).
• Bilangan prima terbesar yang diketahui (per 2024) memiliki lebih dari 41 juta digit — yaitu $2^{136{,}279{,}841} - 1$, sebuah bilangan Mersenne.

Resiprokal dan tempat nilai

• Resiprokal dari bilangan tak nol mengalikannya menjadi 1: untuk $3/7$ adalah $7/3$, karena $(3/7)(7/3)=1$. Nol tidak memiliki resiprokal.
• Kelompokkan bilangan besar dalam ribuan: 6000042 adalah enam juta empat puluh dua. $6\,000\,042=6(1\,000\,000)+42$; angka nol memegang tempat nilai yang hilang.

Anda telah memahaminya