Eksponensial dan logaritma
Introduced| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | fungsi eksponensial |
| exponent/ekˈspəʊnənt/ | eksponen |
| natural logarithms/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəmz/ | logaritma natural |
| compound interest/ˈkɒmpaʊnd ˈɪntrest/ | bunga majemuk |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | peluruhan eksponensial |
Perkalian berulang menciptakan model
- Fungsi eksponensial seperti $y=a^x$ memiliki variabel di dalam eksponen, dengan $a>0$ dan $a\ne1$.
- Nilainya tumbuh untuk $a>1$ dan meluruh untuk $0
Pertumbuhan eksponensial melawan garis lurus
$y = a^x$
Faktor konstan selalu mengalahkan jumlah konstan, seberapa curam pun garisnya.
Gunakan logaritma sebagai invers
- $\log_a y=x$ berarti $a^x=y$. Logaritma real membutuhkan argumen positif dan basis positif yang berbeda dari 1.
- Logaritma natural menggunakan basis e. Grafik $y=\ln x$ melewati $(1,0)$ dan memiliki asimtot vertikal $x=0$; grafik eksponensial memiliki titik potong y 1 dan asimtot horizontal $y=0$.
Berapakah log₁₀ 1000?
Ini menanyakan pangkat berapa dari 10 yang menghasilkan 1000, dan 10³ = 1000.
Terapkan hukum hanya dalam domainnya
- Untuk m dan n positif dengan basis yang valid sama, $\log(mn)=\log m+\log n$ dan $\log(m/n)=\log m-\log n$.
- Hukum pangkat $\log(m^k)=k\log m$ membawa eksponen ke dalam perkalian. Tidak ada hukum yang sesuai untuk memecah logaritma dari penjumlahan.
Hukum mana yang memungkinkan Anda menyelesaikan variabel tak diketahui yang berada dalam eksponen?
Hukum pangkat membawa k ke depan, di mana ia dapat dibagi habis. Opsi keempat sama sekali bukan hukum.
log(m + n) sama dengan log m + log n.
Hukum penjumlahan berlaku untuk perkalian di dalam logaritma, never untuk penjumlahan.
Nyatakan asumsi waktu dan keuangan
- Bunga majemuk menggunakan $A=P(1+r)^n$ untuk tingkat yang ditentukan per periode dan tidak ada arus kas lain. Tingkat r adalah pecahan, bukan angka persentase.
- Peluruhan eksponensial menggunakan faktor antara 0 dan 1. Ambang batas waktu kontinu dapat berbeda dari sampel periode bulat pertama yang memenuhi syarat; proses nyata memerlukan bukti sebelum mengadopsi model.
5000 tumbuh sebesar 4% per tahun. Setelah berapa BANYAK TAHUN PENUH nilainya pertama kali melebihi 7000?
n > log 1.4 log 1.04 = 8.58, dan tahun adalah bilangan bulat, sehingga jawabannya adalah 9.
Basis mana yang memberikan peluruhan eksponensial?
Basis antara 0 dan 1 mengecilkan nilai pada setiap langkah. Basis 1 tidak pernah mengubahnya.
Dalam satu kalimat bahasa Inggris, jelaskan kapan Anda akan menggunakan logaritma untuk menyelesaikan persamaan.
Contoh: "Saya mengambil logaritma ketika variabel tak diketahui berada pada pangkat, karena sifat eksponen memindahkannya ke bawah."
Ambang batas satu tahun penuh. Dengan $A(n)=500(1.04)^n$, kondisi $A(n)>600$ menghasilkan $n>\ln(600/500)/\ln1.04\approx4.6486$. Tahun bulat pertama adalah 5. Periksa tahun 4 dan 5 untuk memverifikasi ketaksamaan ketat.
Periksa domain persamaan dan sketsa secara terpisah. Dalam $\ln(x-1)+\ln2=\ln10$, persamaan membutuhkan $x>1$ dan memiliki solusi 6. Grafik dasar terpisah $y=\ln x$ didefinisikan untuk $x>0$. Lembar 1.6 melatih kedua persamaan dan fitur grafik.
Model peluruhan eksponensial positif tetap di atas nol pada setiap waktu terbatas. Besaran fisik yang diukur sebagai nol mungkin mencerminkan batas deteksi atau kegagalan model, alih-alih nol eksak yang diprediksi oleh rumus.