GAC004 Mathematics I: Fundamentals · ⁨GAC004 Matematika I: Dasar-dasar⁩

Sebuah harga dapat turun 20% dan kemudian naik 20% tanpa kembali ke nilai awalnya. Matematika I membantumu menjelaskan hasil semacam itu dengan metode, satuan, dan interpretasi yang jelas. Enam unit menghubungkan aritmatika, aljabar, grafik, geometri, trigonometri, dan model eksponensial.

Dokumen penilaian saat ini dari pusatmu adalah otoritas untuk tugas, bobot, alat yang diperbolehkan, dan tenggat waktu. Uji di kelas diselesaikan di bawah kondisi ruang kelas yang ditetapkan. Proyek dapat melibatkan pengumpulan data, perhitungan, dan pelaporan; ujian dan tugas kursus mungkin memiliki instruksi berbeda. Jangan menyimpulkan pola penilaian resmi dari lembar praktik ini.

Buku catatan terminologi dapat mencatat istilah bahasa Inggris, makna dengan kata-katamu sendiri, dan contoh kecil. Ikuti instruksi pusatmu jika buku ini diserahkan atau dinilai.

Bacalah kata perintah: selesaikan meminta nilai yang memenuhi suatu kondisi, sederhanakan untuk ekspresi ekuivalen, dan justifikasi untuk alasan. Tampilkan metode yang valid agar pembaca dapat memeriksa bagaimana hasil tersebut diperoleh. Skema penilaian untuk setiap tugas menentukan nilainya.

Enam lembar latihan pendamping ini adalah materi orisinal yang selaras dengan GAC004, bukan soal resmi. Kunci jawabannya memberikan nilai berdasarkan langkah-langkah matematika yang dinyatakan, bukan berdasarkan panjang laporan tertulis.

Kosakata bilangan diasumsikan oleh setiap unit selanjutnya.

Bilangan bulat adalah bilangan bulat, termasuk bilangan bulat negatif dan nol. Bilangan rasional dapat dapat ditulis sebagai pecahan dua bilangan bulat dengan penyebut tak nol; bilangan irasional tidak dapat, dan $\pi$ dan $\sqrt{2}$ adalah contoh standar. Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih besar dari 1 dengan tepat dua faktor positif, dirinya sendiri dan 1.

eksponen, kemudian perkalian dan pembagian, lalu penjumlahan dan pengurangan, bekerja dari kiri ke kanan dalam satu tingkat. indeks, kemudian perkalian dan pembagian, kemudian penjumlahan dan pengurangan, bekerja dari kiri ke kanan dalam satu tingkat.

• Faktor persekutuan terbesar (FPB) dan **kelipatan persekutuan terkecil (KPK) mengalikannya. 6 adalah faktor dari 24, dan 24 adalah kelipatan dari 6.
• Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan **Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) berasal dari faktor prima: $24 = 2^3 \times 3$ dan $36 = 2^2 \times 3^2$, sehingga FPB adalah $2^2 \times 3 = 12$ dan KPK adalah $2^3 \times 3^2 = 72$.
• Persentase adalah pecahan dengan penyebut 100. Peningkatan sebesar 15% dikalikan dengan $1.15$; penurunan sebesar 15% dikalikan dengan $0.85$. Membalikkan perubahan persentase berarti pembagian, bukan pengurangan persentase yang sama kembali.
• Angka penting adalah digit yang disimpan untuk menyatakan nilai pada presisi tertentu. Angka ini saja tidak menentukan akurasi pengukuran. $0.004\,072$ dibulatkan menjadi tiga angka penting adalah $0.004\,07$.
• Notasi ilmiah menuliskan sebuah bilangan sebagai $a \times 10^n$ dengan $1 \le |a| < 10$ untuk bilangan tak nol, dengan n bilangan bulat. Ini adalah cara kalkulator menampilkan jawaban yang sangat besar atau sangat kecil.

Contoh terpecahkan. Penurunan dan peningkatan menggunakan basis yang berbeda

Diketahui: harga ciptaan 80 unit turun 20%, kemudian naik 20%. Mengapa menggunakan pengali berturut-turut? Setiap perubahan dihitung dari harga saat itu.

Harga tidak kembali ke 80. Penurunan adalah 16, sementara kenaikan berikutnya adalah 12.8, karena basisnya berbeda.

Lanjutkan dengan lembar latihan 1.1. Kerjakan sebelum membuka kunci jawaban, dan periksa metode serta satuan akhir.

Persamaan menyatakan dua ekspresi sama dan diselesaikan untuk suatu nilai. Identitas

Dalam $5x^2 - 3x + 7$, seluruhnya adalah ekspresi; $5x^2$, $-3x$ dan $7$ adalah suku-sukunya; suku; 5 adalah koefisien dari $x^2$; dan 7 adalah konstanta.

Untuk menguraikan adalah menghilangkan kurung; untuk memfaktorkan adalah mengembalikannya. benarnya untuk setiap nilai dalam domainnya. Ketaksamaan membandingkan dua ekspresi dengan $<$, $\le$, $>$ atau $\ge$.

Untuk menjabarkan adalah menghapus kurung; untuk memfaktorkan adalah mengembalikannya.

• Sistem persamaan simultan adalah dua persamaan dalam dua variabel tak diketahui, diselesaikan melalui substitusi atau eliminasi. Untuk dua persamaan linear, solusi unik adalah perpotongannya. Garis sejajar yang berbeda tidak memiliki solusi; garis identik memiliki tak hingga banyak solusi.
• Persamaan kuadrat memiliki bentuk $ax^2+bx+c=0$ dengan $a\ne0$. Faktorkan jika sesuai, atau gunakan $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
• Sistem persamaan linear adalah dua persamaan dalam dua variabel tak diketahui, diselesaikan dengan substitusi Contoh kerja. balik tanda pertidaksamaan saat membagi dengan bilangan negatif
• ⚠ Pertidaksamaan terbalik ketika Anda mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif bilangan: dari $-2x > 6$ diperoleh bahwa $x < -3$.

Contoh terpecahkan. balik tanda pertidaksamaan saat membagi dengan bilangan negatif

Diketahui: selesaikan $7-3x>1$. Kurangi 7 dari kedua ruas, lalu bagi dengan bilangan negatif 3. Operasi terakhir membalikkan pertidaksamaan.

Lingkaran terbuka mengecualikan 2. Cek $x=1$: $7-3(1)=4>1$; batas $x=2$ memberikan kesamaan dan dieksklusi.

Lanjutkan dengan lembar latihan 1.2. Kerjakan sebelum membuka kunci jawaban, dan periksa baik metode maupun satuan akhir.

Grafik mengubah persamaan menjadi gambar, dan geometri koordinat mengukur gambar tersebut.

Garis lurus nonvertikal dapat ditulis $y = mx + c$, di mana $m$ adalah gradien dan $c$ adalah perpotongan sumbu-y y. Gradien adalah kenaikan dibagi dengan perpindahan horizontal.

• Garis lurus nonvertikal yang berbeda adalah sejajar jika gradiennya sama. Dua garis nonvertikal adalah tegak lurus jika hasil kali gradiennya $-1$. Garis vertikal memiliki gradien tak terdefinisi; garis vertikal dan horizontal saling tegak lurus.
• Untuk menyelesaikan dua persamaan secara grafika, gambar keduanya dan baca koordinat dari antara dua titik berasal dari teorema Pythagoras: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
• Kuadrat digambarkan sebagai parabola. Titik puncak-nya adalah titik belok, dan akar-akar adalah nilai-x tempat kurva memotong sumbu $x$, yaitu solusi dari $y=0$. Akar ganda menyentuh sumbu tanpa melintasinya; beberapa persamaan kuadrat tidak memiliki akar real.
• Untuk menyelesaikan dua persamaan secara grafis, gambar keduanya dan bacalah koordinat titik potong. Jawabannya hanya sedakur akurat gambarnya, sehingga pemeriksaan aljabar penting.

Contoh terpecahkan. garis naik melalui dua titik yang diberikan

Diketahui: $A=(1,2)$ dan $B=(4,8)$. Gunakan gradien karena garis tidak vertikal.

Persamaan garis adalah $y=mx+c$. Substitusikan A untuk mencari intersep.

Sehingga $y=2x$. Perubahan horizontal pada diagram adalah 3 dan perubahan vertikal adalah 6.

Lanjutkan dengan lembar latihan 1.3. Kerjakan sebelum membuka kunci jawaban, dan periksa metode serta satuan akhir.

Geometri bidang membahas bangun datar, geometri ruang membahas tiga dimensi, dan geometri Euclid adalah penalaran yang menghubungkannya.

Sudut pada garis lurus berjumlah $180°$, sudut mengelilingi titik berjumlah $360°$, dan sudut dalam segitiga Euclid bidang berjumlah $180°$. Pada poligon sederhana dengan $n$ sisi, jumlah sudut dalamnya adalah $(n - 2) \times 180°$.

• Bangun kongruen identik dalam ukuran dan bentuk; bangun serupa memiliki bentuk sama dengan semua panjang dalam satu rasio.
• Teorema Pythagoras berlaku pada segitiga siku-siku: $a^2 + b^2 = c^2$, di mana $c$ adalah hipotenusa.
• Luas diukur dalam satuan persegi dan volume dalam satuan kubik. Silinder memiliki volume $\pi r^2 h$; bola memiliki volume $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ dan luas permukaan $4\pi r^2$.
• ⚠ Pengskalaan tidak linear. Jika setiap panjang benda ruang digandakan, luasnya dikalikan dengan $2^2 = 4$ dan volumenya dengan $2^3 = 8$.

Contoh terpecahkan. prisma segitiga memiliki penampang melintang konstan

Diketahui: sisi tegak segitiga adalah 3 dan 4 cm; panjang prisma adalah 10 cm. Temukan luas penampang, lalu kalikan dengan panjang prisma.

Sisi miring segitiga bukan tinggi tegaknya. Volume bukanlah luas ujung segitiga.

Lanjutkan dengan lembar latihan 1.4. Kerjakan sebelum membuka kunci jawaban, dan periksa metode serta satuan akhir.

Trigonometri menghubungkan sudut-sudut segitiga dengan sisinya.

Pada segitiga siku-siku, dengan $\theta$ salah satu sudut lancip, ketiga rasionya adalah $\sin \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$, $\cos \theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$ dan $\tan \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$.

Untuk segitiga Euclid bidang non-degenerate, berlaku aturan sinus dan aturan kosinus:

• Sudut dapat diukur dalam derajat atau dalam radian, di mana $\pi$ radian setara dengan $180°$. Periksa mode kalkulator Anda sebelum setiap soal.
• Lingkaran unit memperluas rasio melebihi $90°$ dan menjelaskan mengapa $\sin$ dan $\cos$ berulang setiap $360°$: mereka bersifat periodik.
• Azimut diukur searah jarum jam dari utara dan selalu ditulis dengan tiga angka, seperti $075°$.
• Sudut elevasi dan depresi diukur dari horizontal, ke atas dan ke bawah masing-masing. Tambahkan tinggi pengamat atau instrumen jika jawaban memerlukan ketinggian di atas tanah. Dengan data sisi-sisi-sudut, aturan sinus mungkin mengizinkan dua segitiga: periksa kedua sudut pelengkapnya terhadap jumlah sudut yang tersisa.

Contoh terpecahkan. ketinggian dari jarak horizontal dan sudut

Diketahui: jarak horizontal $d=12$ m dan elevasi $\theta=30^\circ$. Ketinggian h berhadapan dan d bersebelahan, jadi gunakan tangen dalam mode derajat.

Ini adalah ketinggian di atas garis pandang horizontal pengamat, bukan otomatis ketinggian di atas tanah.

Lanjutkan dengan lembar latihan 1.5. Kerjakan sebelum membuka kunci jawaban, dan periksa metode serta satuan akhir.

Kedua fungsi ini menggambarkan pertumbuhan dan peluruhan, serta saling membatalkan.

Sebuah fungsi eksponensial memiliki bentuk $y=a^x$ dengan $a>0$ dan $a\ne1$: variabelnya berada dalam eksponen. Setiap langkah satuan mengalikan nilainya dengan a. Fungsi ini tumbuh ketika $a>1$ dan meluruh ketika $0. Titik potong sumbu-y-nya adalah 1 dan nilainya tetap positif; sumbu-x merupakan asimtot horizontal.

Logaritma menjawab pertanyaan sebaliknya. $\log_a y = x$ berarti tepat $a^x = y$, sehingga $\log_{10}1000=3$. Untuk logaritma riil, argumen harus positif, dan basis harus positif serta berbeda dari 1. Grafik $y=\log_a x$ melewati $(1,0)$ dan memiliki asimtot vertikal $x=0$.

• Untuk argumen positif dan basis yang valid sama, hukum-hukumnya mengubah perkalian menjadi penjumlahan, yang membuat logaritma berguna untuk menyelesaikan persamaan dengan variabel tak diketahui di pangkat.
• Logaritma natural menggunakan basis $e \approx 2.718$ dan ditulis $\ln$.
• Bunga majemuk bersifat eksponensial: $A = P(1 + r)^n$ setelah $n$ periode.
• Peluruhan eksponensial memiliki basis antara 0 dan 1, dan dapat menggambarkan proporsi yang tersisa setiap periode berdasarkan asumsi yang ditetapkan. Hal ini tidak menjamin bahwa proses riil mengikuti model tersebut secara tak terbatas.

Contoh terpecahkan. reduksi berulang mengalihkan daripada mengurangi jumlah tetap

Diketahui: besaran ciptaan dimulai dari 100 unit dan berkurang 20% per periode penuh. Proporsi yang tersisa adalah 0,8, jadi gunakan model perkalian.

Pengurangan pertama adalah 20 unit dan kedua adalah 16. Pengurangan tetap 20 setiap periode akan menjadi model yang berbeda.

Lanjutkan dengan lembar latihan 1.6. Kerjakan sebelum membuka kunci jawaban, dan periksa metode serta satuan akhir.