Menggabungkan Variabel Acak
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | Transformasi linear |
Skala dan pergeseran
- Transformasi linear $aX + b$ mengalikan skala dengan $a$ dan menggeser sebesar $b$.
- Rata-rata: $\mu_{aX+b} = a\,\mu_X + b$ — baik skala maupun pergeseran ikut terbawa.
- SD: $\sigma_{aX+b} = |a|\,\sigma_X$ — skala meregangkan sebaran; pergeseran tidak.
- Menambahkan konstanta memindahkan pusat tetapi meninggalkan sebaran tetap.
Rata-rata dari penjumlahan dan pengurangan
- Rata-rata selalu dijumlahkan (atau dikurangkan), tanpa syarat:
-
$$\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y \qquad \mu_{X-Y} = \mu_X - \mu_Y$$
- Nilai harapan digabungkan secara linear, apakah variabelnya independen atau tidak.
- Ini adalah bagian mudah dan selalu benar dari aturan-aturan tersebut.
SD dari penjumlahan dan pengurangan
- Varians dijumlahkan untuk variabel independen — bahkan untuk pengurangan:
-
$$\sigma_{X \pm Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2$$
- Kemudian $\sigma_{X\pm Y} = \sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}$.
- Perhatikan $+$: Anda menjumlahkan varians meskipun variabelnya dikurangkan.
Menggabungkan normal independen
- Jumlah atau selisih dari variabel acak normal independen juga berdistribusi normal.
- Rata-rata dan SD-nya berasal dari aturan di atas ($\mu$'s tambang/kurang; varians ditambah).
- Jadi Anda dapat mencari probabilitas untuk variabel gabungan menggunakan model normal.
- Hal ini membuat banyak pertanyaan dua variabel dapat diselesaikan dalam satu langkah yang bersih.
Dua jebakan. (1) Ketika Anda mengurangkan variabel, Anda tetap menjumlahkan varians mereka ($\sigma_{X-Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — jangan pernah mengurangi varians. (2) Jangan pernah menjumlahkan simpangan baku secara langsung ($\sigma_X+\sigma_Y$ salah); jumlahkan varians-nya, lalu akarkan. Kedua aturan memerlukan variabel tersebut independen.
$X$ (mean $10$, SD $3$) dan $Y$ (mean $4$, SD $4$) adalah independen.
- Rata-rata dari $X-Y$: $10 - 4 = 6$.
- Varians: $\sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 9 + 16 = 25$ (dijumlahkan, bahkan untuk selisih).
- SD dari $X-Y$: $\sqrt{25} = 5$.
Sebuah transformasi linear: $\mu_{aX+b}=a\mu_X+b$ tetapi $\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X$ (pergeseran tidak mempengaruhi sebaran). Rata-rata tambah/kurang selalu; untuk variabel independen varians ditambah ($\sigma_{X\pm Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — bahkan untuk pengurangan. Kombinasi normal independen adalah normal.
Variabel normal gabungan
Jumlah/selisih normal independen sendiri juga normal.
X memiliki mean 10, Y memiliki mean 4. Temukan mean dari X − Y.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Mean dikurangkan: 10 − 4 = 6.
X memiliki SD 3, Y memiliki SD 4, independen. Temukan SD dari X − Y.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Varians ditambah: 9 + 16 = 25, jadi SD = √25 = 5.
Saat mengurangkan dua variabel acak independen, Anda mengurangkan varians mereka.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Varians DITAMBAHKAN bahkan untuk selisih — jangan pernah dikurangkan.
Untuk transformasi 2X + 5, simpangan baku menjadi...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
SD skala oleh |a| tetapi pergeseran +5 tidak mempengaruhi sebaran.
Untuk menggabungkan simpangan baku variabel independen, Anda seharusnya menjumlahkan SD langsung.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Jumlahkan varians, lalu akar kuadrat — bukan SD-nya.