Rata-rata dan SD Variabel Acak
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| expected value/ekˈspektɪd ˈvæljuː/ | Nilai harapan |
| variance/ˈveərɪəns/ | Variansi |
Rata-rata jangka panjang
- Rata-rata (atau nilai harapan) dari variabel acak adalah rata-rata hasil jangka panjangnya.
- Tertulis $\mu_X$ atau $E(X)$ — titik keseimbangan dari distribusi.
- Ini adalah rata-rata tertimbang: setiap nilai diboboti oleh probabilitasnya.
- Dalam banyak pengulangan, hasil rata-rata akan mendekati $\mu_X$.
Menghitung rata-rata
-
$$\mu_X = \sum x_i \, P(x_i)$$
- Kalikan setiap nilai dengan probabilitasnya, lalu jumlahkan semuanya.
- Rata-rata tidak harus merupakan nilai yang mungkin (sebuah "keluarga anak-anak $2.5$").
- Ini adalah rata-rata, bukan prediksi untuk satu percobaan tunggal.
Varians dan simpangan baku
- Varians $\sigma_X^2 = \sum (x_i - \mu_X)^2 \, P(x_i)$ — rata-rata jarak kuadrat yang diboboti probabilitas dari nilai tengah.
- Simpangan baku $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ mengembalikan satuan ke bentuk aslinya.
- Semakin besar $\sigma_X$ = semakin tersebar hasil di sekitar nilai tengah.
- Kuadratkan deviasinya, bobotkan dengan probabilitas, jumlahkan, lalu akarkan.
Menafsirkan SD
- $\sigma_X$ adalah jarak tipikal suatu hasil dari nilai tengah $\mu_X$.
- $\sigma_X$ kecil: hasil berkumpul rapat di sekitar nilai yang diharapkan.
- $\sigma_X$ besar: hasil berfluktuasi lebar dari satu percobaan ke percobaan lain.
- Bersama-sama, $\mu_X$ (pusat) dan $\sigma_X$ (sebaran) merangkum seluruh distribusi.
Nilai harapan adalah rata-rata jangka panjang, bukan hasil yang terjamin atau bahkan mungkin terjadi. $E(X)=2.5$ anak berarti rata-rata dari banyak keluarga, bukan bahwa setiap keluarga memiliki $2.5$ anak. Dan hitung SD dari varians: kuadratkan deviasi terlebih dahulu, bobotkan, jumlahkan, lalu akarkan — jangan ratakan jarak mentahnya.
Sebuah permainan: menang $5$ dolar dengan probabilitas $0.2$, atau menang $0$. Misalkan $X$ adalah kemenangan.
- Rata-rata: $\mu_X = 5(0.2) + 0(0.8) = 1$ dolar — pembayaran rata-rata jangka panjang.
- Varians: $(5-1)^2(0.2) + (0-1)^2(0.8) = 3.2 + 0.8 = 4$.
- SD: $\sigma_X = \sqrt{4} = 2$ dolar — jarak tipikal dari rata-rata $1$.
Rata-rata (nilai harapan) $\mu_X = \sum x_i P(x_i)$ adalah rata-rata jangka panjang — rata-rata berbobot probabilitas yang tidak harus merupakan nilai yang mungkin. Varians $\sigma_X^2 = \sum (x_i-\mu_X)^2 P(x_i)$ dan simpangan baku $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ mengukur jarak tipikal suatu hasil dari $\mu_X$.
Memberi bobot nilai dengan probabilitas
Rata-rata adalah titik keseimbangan distribusi berbobot ini.
X menang 5 dengan prob 0.2, selain itu 0. Temukan rata-rata E(X) = 5(0.2)+0(0.8).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
5(0.2) + 0(0.8) = 1.
Dengan rata-rata 1: varians = (5−1)²(0.2)+(0−1)²(0.8). Kemudian temukan simpangan baku.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Varians = 3.2 + 0.8 = 4, jadi SD = √4 = 2.
Nilai harapan dari variabel acak harus merupakan salah satu nilai yang mungkin miliknya.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ini adalah rata-rata jangka panjang — misal 2.5 anak — tidak harus dapat dicapai.
Simpangan baku dari variabel acak mengukur...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
SD = sebaran tipikal di sekitar rata-rata.
Rata-rata variabel acak juga disebut nilainya ___ (satu kata).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mean = nilai harapan = rata-rata jangka panjang.