Invers dari Fungsi Eksponensial
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | Fungsi invers |
| logarithmic function/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ˈfʌŋkʃn/ | Fungsi logaritmik |
| domain/dəˈmeɪn/ | domain |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | asimtot vertikal |
Kembar cermin dari eksponensial
- Setiap fungsi eksponensial memiliki pasangan yang menjalankannya mundur.
- Di mana $2^x$ mengubah eksponen menjadi nilai, pasangannya mengubah nilai kembali menjadi eksponen.
- Pasangan itu adalah logaritma — dan secara geometris merupakan bayangan cermin sempurna.
- Memahami pasangan ini bersama-sama membuat keduanya jauh lebih mudah.
Log adalah invers dari eksponensial
- Fungsi logaritmik $\log_b x$ adalah invers dari eksponensial $b^x$.
- Mereka berbagi basis yang sama dan saling membatalkan pekerjaan satu sama lain.
- $b^x$ mengubah eksponen menjadi nilai; $\log_b x$ mengembalikan nilai tersebut ke eksponen.
- Jadi logaritma dan eksponensial adalah dua tampilan dari satu hubungan.
Fungsi logaritmik $\log_b x$ adalah ____ dari fungsi eksponensial $b^x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mereka saling membatalkan, jadi fungsi log adalah invers dari eksponensial dengan basis yang sama.
Refleksi terhadap y = x
- Karena mereka adalah invers, grafiknya adalah refleksi melintasi garis $y = x$.
- Eksponensial yang menanjak tinggi berubah menjadi logaritma yang naik perlahan, dan sebaliknya.
- Setiap titik $(a, b)$ pada $b^x$ berkorespondensi dengan $(b, a)$ pada $\log_b x$.
- Melihat satu grafik, Anda dapat menggambar yang lain dengan membalik melintasi $y = x$.
Kurva eksponensial yang cerminnya adalah logaritma
y = 2ˣ
Bayangkan memantulkan kurva y = 2ˣ ini melintasi garis y = x. Bayangan cerminnya adalah grafik y = log₂ x.
Domain, range, dan asimtot yang tertukar
- Invers menukar domain dan range. Range eksponensial $y > 0$ menjadi domain logaritma $x > 0$.
- Asimtot horizontal eksponensial $y = 0$ menjadi asimtot vertikal logaritma $x = 0$.
- Range logaritma adalah semua bilangan real — ia bisa berupa eksponen apa pun.
- Jadi fungsi logaritma hanya ada untuk input positif, menempel pada sumbu-y di sebelah kiri.
Eksponensial memiliki asimtot horizontal; inversnya, log, memiliki asimtot ____ sebagai gantinya.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Memantulkan melintasi $y=x$ mengubah asimtot horizontal $y=0$ menjadi asimtot vertikal $x=0$.
Domain dari $\log_b x$ adalah $x > 0$, yang merupakan range dari eksponensial.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Invers menukar domain dan range: range eksponensial ($y>0$) menjadi domain log ($x>0$).
Pilih semua pernyataan benar tentang eksponensial dan inversnya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Mereka adalah invers, bukan fungsi yang sama. Tiga lainnya mendeskripsikan hubungan dengan benar.
Saling membatalkan
- Menyusun fungsi dengan inversnya akan saling meniadakan: $\log_b(b^x) = x$ dan $b^{\log_b x} = x$.
- Sehingga $\log_2(2^7) = 7$ dan $10^{\log_{10} 5} = 5$.
- Peniadaan ini adalah persis bagaimana logaritma menyelesaikan persamaan dengan variabel dalam eksponen.
- Terapkan logaritma pada kedua ruas, sehingga eksponennya turun dan dapat Anda kerjakan.
Berapakah $\log_2\!\left(2^5\right)$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Log membatalkan eksponensial: $\log_2(2^5) = 5$. Fungsi invers saling meniadakan.
Fungsi eksponensial menerima semua input real tetapi hanya menghasilkan output positif; logaritma adalah cerminnya — ia hanya menerima input positif tetapi menghasilkan semua nilai real. Jangan berikan nol atau argumen negatif pada logaritma, dan jangan berharap fungsi eksponensial pernah menghasilkan nol.
Gunakan hubungan invers untuk menyelesaikan $10^x = 1000$.
- Ambil $\log_{10}$ dari kedua ruas: $\log_{10}(10^x) = \log_{10} 1000$.
- Ruas kiri menjadi $x$; ruas kanan adalah $3$ (karena $10^3 = 1000$).
- Jadi $x = 3$ — logaritma membatalkan efek eksponensial.
Fungsi logaritma adalah invers dari fungsi eksponensial dengan basis yang sama: grafik mereka saling mencerminkan melintasi $y = x$. Domain dan range bertukar, sehingga logaritma memiliki domain $x > 0$ dan ** asimtot vertikal** di $x = 0$. Mereka saling membatalkan, inilah cara logaritma menyelesaikan persamaan eksponensial.