Menghubungkan Gerak Linear dan Rotasi
Di atas merry-go-round, tepinya bergerak sangat cepat
- Berdiri dekat pusat merry-go-round yang berputar dan Anda bergerak perlahan.
- Berdiri di tepi dan Anda terpental dengan cepat — namun semua orang berbagi rotasi yang sama.
- Seluruh platform berputar bersama, sehingga semua orang memiliki kecepatan sudut yang sama.
- Namun kecepatan linear setiap penunggang bergantung pada seberapa jauh mereka duduk dari pusat.
Persamaan jembatan
- Panjang busur dikaitkan dengan sudut: $s = r\theta$.
- Kecepatan linear terhubung dengan kecepatan sudut: $v = r\omega$.
- Percepatan tangensial dikaitkan dengan percepatan sudut: $a_t = r\alpha$.
- Dalam setiap kasus, kalikan besaran sudut dengan jari-jari $r$.
Jari-jari menentukan kecepatan
Ubah jari-jari dan lihat bagaimana panjang busur (dan karenanya kecepatan linear) berskala dengan r.
Sebuah titik berada $0.3\ \text{m}$ dari sumbu roda, berputar pada $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. Berapakah kecepatannya secara linear, dalam $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$?
$v = r\omega = 0.3 \times 10 = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Panjang busur yang disapu adalah $s = r\_\_$ (isi besaran sudutnya).
$s = r\theta$ — jari-jari dikalikan dengan sudut dalam radian.
Pilih semua persamaan jembatan linear-rotasi yang benar.
Masing-masing menghubungkan besaran sudut ke besaran linear dengan mengalikannya dengan $r$. $v = \omega/r$ salah.
Semakin jauh berarti semakin cepat
- Karena $v = r\omega$, jari-jari yang lebih besar memberikan kecepatan linear yang lebih besar untuk rotasi yang sama.
- Tepi roda bergerak lebih cepat daripada titik dekat poros.
- Inilah sebabnya ujung tuas yang panjang, tepi kipas angin, atau kuda luar di kincir berputar bergerak paling cepat.
- Sama $\omega$ di seluruh objek; berbeda $v$ pada berbagai jari-jari.
Pada cakram kaku yang berputar, bagaimana perbandingan antara titik di tepi dan titik dekat pusat?
Semua titik berbagi $\omega$; tepi memiliki jari-jari lebih besar, sehingga $v = r\omega$ lebih besar di sana.
Untuk roda di atas, berapakah kecepatan linear pada $0.6\ \text{m}$ dari sumbu, dalam $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$?
$v = r\omega = 0.6 \times 10 = 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — ganda jari-jari, gandakan kecepatannya.
Penggelan tanpa selip
- Saat sebuah roda menggelung tanpa selip, pusatnya bergerak dengan $v = r\omega$.
- Titik kontak berhenti sejenak; bagian atas bergerak dengan $2v$.
- Kondisi rapi ini mengikat putaran roda dengan pergerakannya maju.
- Kita akan menggunakannya lagi untuk energi penggelan dalam topik berikutnya.
Roda yang menggelinding tanpa tergelincir memiliki pusatnya bergerak pada $v = r\omega$.
Gelinding tanpa tergelincir mengaitkan jarak tempuh dengan putaran tepat melalui $v = r\omega$.
Setiap titik pada benda tegar yang berputar memiliki $\omega$ yang sama, tetapi tidak memiliki $v$ yang sama. Jangan asumsikan tepi dan pusat bergerak dengan kecepatan linear yang sama — tepi jauh lebih cepat karena jari-jarinya lebih besar ($v = r\omega$).
Sebuah titik berada $0.3\ \text{m}$ dari sumbu roda yang berputar dengan $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- $v = r\omega = 0.3 \times 10 = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Sebuah titik pada $0.6\ \text{m}$ akan bergerak dengan $6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — dua kali lebih cepat, untuk putaran yang sama.
Gerak linear dan angular dihubungkan oleh jari-jari: $s = r\theta$, $v = r\omega$, $a_t = r\alpha$. Setiap titik pada benda kaku berbagi $\omega$ yang sama, tetapi titik yang lebih jauh dari sumbu memiliki $v$ yang lebih besar. Roda yang menggelinding tanpa tergelincir mematuhi $v = r\omega$.