Menemukan Deret Taylor atau Maclaurin untuk Fungsi
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| Taylor series/ˈteɪlə ˈsɪəriːz/ | Deret Taylor |
| Maclaurin series/məˈklɔːrɪn ˈsɪəriːz/ | Deret Maclaurin |
Polinomial yang tidak pernah berhenti
- Taylor polinomial berhenti pada derajat $n$. Biarkan ia berjalan selamanya dan Anda akan mendapatkan deret Taylor.
- $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$ — versi tak hingga, merepresentasikan $f$ secara tepat di mana ia konvergen.
- Berpusat pada $0$, ini disebut deret Maclaurin.
- Beberapa di antaranya layak hafal sepenuhnya.
Deret Taylor yang berpusat di $0$ disebut deret ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Maclaurin = Taylor berpusat di $0$.
Deret Maclaurin yang wajib diketahui
- $\displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$
- $\displaystyle \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$
- $\displaystyle \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$
- $\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^2+\cdots$ (deret geometri, $|x|<1$).
cos x dari serinya
$\cos x=1-\tfrac{x^2}{2!}+\tfrac{x^4}{4!}-\cdots$ — pangkat genap, tanda berganti-ganti, penyebut faktorial.
Deret Maclaurin untuk $e^x$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Semua pangkat, koefisien $\tfrac1{n!}$, tanpa pergantian tanda.
Deret untuk $\dfrac{1}{1-x}$ (dengan $|x|<1$) adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Deret geometri $1+x+x^2+\cdots$.
Membangun dari awal
- Hitung $f(a),f'(a),f''(a),\dots$ dan substitusikan ke dalam $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$, suku demi suku.
- Cari pola pada turunan untuk menulis suku ke-$n$ umum.
- Deret yang diketahui di atas biasanya diturunkan sekali lalu digunakan kembali — hafalkan mereka.
- Suku umum inilah yang menjadikannya sebuah deret, bukan sekadar beberapa suku.
Menggunakan $\cos x\approx1-\tfrac{x^2}{2}$, estimasi $\cos(0.2)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$1-\tfrac{0.04}{2}=0.98$.
$\sin$ dan $\cos$ berbagi keluarga
- Perhatikan bahwa $\sin x$ menggunakan pangkat ganjil dan $\cos x$ menggunakan pangkat genap — dan keduanya berganti tanda.
- $e^x$ memiliki setiap pangkat dengan semua koefisien positif $\tfrac1{n!}$.
- Pola-pola ini memungkinkan Anda menuliskan suku dengan cepat dan mengenali deret mana yang diminta soal.
- Mengenalinya adalah setengah kemenangan dalam ujian.
Deret Maclaurin untuk $\sin x$ menggunakan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\sin x=x-\tfrac{x^3}{3!}+\cdots$ (ganjil, berganti-ganti).
Penyebut dalam deret standar ini adalah faktorial.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Suku ke-$n$ memiliki $n!$ (atau $(2n)!$, $(2n+1)!$).
Jaga agar faktorial dan pola tanda tetap jelas: $\sin x$ memiliki pangkat ganjil $x^{2n+1}$ (dimulai dengan $x$), $\cos x$ memiliki pangkat genap $x^{2n}$ (dimulai dengan $1$), keduanya berganti; $e^x$ memiliki semua pangkat, tanpa pergantian tanda. Menukar ganjil/genap atau melewatkan $(-1)^n$ adalah kesalahan klasik.
Tulis deret Maclaurin untuk $\cos x$ dan gunakan untuk mengaproksimasi $\cos(0.2)$ hingga dua suku.
- $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots$
- Dua suku pada $x=0.2$: $1-\dfrac{0.04}{2}=1-0.02=0.98$.
- Benar $\cos 0.2\approx0.980$. ✓
Deret Taylor adalah $\sum\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ tak hingga; jika berpusat di $0$, ia disebut deret Maclaurin. Hafalkan $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, dan $\frac{1}{1-x}$. Perhatikan pola faktorial dan tanda: $\sin$ = pangkat ganjil, $\cos$ = pangkat genap, keduanya berselang-seling; $e^x$ = semua pangkat, tanpa selang-seling.