Merepresentasikan Fungsi sebagai Deret Pangkat
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ | Deret Pangkat |
Memanfaatkan deret yang sudah diketahui untuk membangun deret baru
- Anda tidak perlu menghitung setiap deret Taylor dari turunan. Modifikasi deret yang sudah Anda ketahui.
- Mulailah dari deret geometri $\frac{1}{1-x}=\sum x^n$ atau deret $e^x,\sin,\cos$.
- Substitusikan, kalikan, turunkan, atau integrasikan untuk merepresentasikan fungsi baru sebagai deret pangkat.
- Ini adalah aljabar pada deret — cepat dan cerdas.
Substitusi dan perkalian
- Substitusikan suatu ekspresi ke dalam $x$: ganti $x$ dengan $-x^2$ dalam $\frac1{1-x}$ untuk mendapatkan $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-x^2)^n=\sum(-1)^n x^{2n}$.
- Kalikan sebuah deret dengan pangkat dari $x$ atau konstanta: $x\cdot e^x=\sum\frac{x^{n+1}}{n!}$.
- Setiap langkah mempertahankan deret pangkat yang valid (sesuaikan interval konvergensi untuk substitusi).
- Tidak perlu turunan baru — cukup masukkan dan gabungkan.
Dibangun dari deret geometri
y = a / (1 − b·x)
Substitusi $-x^2$ ke dalam $\tfrac{1}{1-x}=\sum x^n$ membangun deret untuk $\tfrac{1}{1+x^2}$ — tidak perlu turunan baru.
Substitusi $u=-x^2$ ke dalam $\tfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ menghasilkan $\tfrac{1}{1+x^2}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$(-x^2)^n=(-1)^n x^{2n}$.
Manakah gerakan yang menghasilkan deret pangkat baru dari yang sudah dikenal?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Substitusi, skala/kalikan, turunkan, integralkan — bukan pengacakan pengurutan.
Menurunkan dan mengintegralkan suku per suku
- Di dalam interval konvergensinya, deret pangkat dapat diturunkan atau diintegrasikan suku per suku.
- Integralkan $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-1)^n x^{2n}$ untuk mendapatkan $\arctan x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$.
- Turunkan sebuah deret untuk mendapatkan deret dari turunannya.
- Langkah-langkah ini menghasilkan deret-deret terkenal (seperti $\arctan$ dan $\ln(1+x)$) dari deret yang lebih sederhana.
Dalam interval konvergensinya, deret pangkat dapat diturunkan dan diintegrasikan suku demi suku.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Langkah yang sah di dalam interval konvergensi.
Mengintegralkan $\sum(-1)^n x^{2n}$ suku demi suku menghasilkan deret untuk...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int\tfrac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x$.
Alat yang ampuh
- Substitusikan, skala, kalikan, turunkan, integrasikan — lima langkah, deret baru yang tak terbatas.
- Cara ini sering kali jauh lebih cepat daripada menghitung turunan tinggi secara langsung.
- Deret baru mewarisi (kira-kira) jari-jari konvergensi dari deret awal Anda.
- Mengenali langkah mana yang harus diterapkan adalah keterampilan yang sebenarnya.
Mengintegralkan deret pangkat suku demi suku memperkenalkan konstanta ____, yang ditentukan oleh nilai yang diketahui.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Misalnya, $\arctan 0=0$ menentukan $C=0$.
Substitusi $x\to -x^2$ dapat mengubah interval konvergensi.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Turunkan kembali interval dalam variabel baru.
Diferensiasi dan integrasi suku demi suku hanya valid di dalam interval konvergensi (dan mengintegrasikan menambahkan sebuah $+C$ — tentukan nilainya dengan nilai yang diketahui, mis. $\arctan 0=0$). Saat Anda mensubstitusikan (seperti $x\to -x^2$), interval konvergensi juga berubah — turunkan kembali dari variabel baru.
Temukan deret pangkat untuk $\dfrac{1}{1+x^2}$.
- Mulailah dari $\dfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ dan substitusikan $u=-x^2$.
- $\dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{2n}=1-x^2+x^4-\cdots$ (untuk $|x|<1$).
Untuk merepresentasikan fungsi sebagai deret pangkat, modifikasi deret yang sudah dikenal: substitusikan, kalikan/skala, atau turunkan/integrasikan suku per suku (valid dalam interval konvergensi; pengintegralan menambahkan $+C$). Mis. mensubstitusikan ke dalam $\frac{1}{1-x}$ dan mengintegrasikan menghasilkan deret untuk $\frac{1}{1+x^2}$ dan $\arctan x$.