Jari-jari dan Interval Konvergensi Deret Pangkat
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ | Deret Pangkat |
| radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | Jari-jari Konvergensi |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | Interval Konvergensi |
Di mana deret pangkat bermakna?
- Deret pangkat adalah polinomial tak hingga: $\sum c_n(x-a)^n$ — seperti deret Taylor dengan variabel $x$.
- Ia konvergen untuk beberapa $x$ dan divergen untuk yang lain. Untuk $x$ mana?
- Jawabannya adalah interval yang berpusat pada $a$, diukur oleh jari-jari konvergensi $R$.
- Menemukan $R$ dan titik akhir yang eksak adalah tujuannya.
Jari-jari konvergensi
- Deret pangkat konvergen untuk $|x-a|<R$ dan divergen untuk $|x-a|>R$.
- $R$ adalah jari-jari: deret konvergen dalam jarak $R$ dari titik pusat $a$.
- Tiga kemungkinan: $R=0$ (hanya di $a$), $R=\infty$ (semua $x$), atau $R$ yang terbatas.
- Temukan $R$ dengan Uji Rasio pada suku-suku deret.
Interval konvergensi
Deret pangkat konvergen dalam jari-jari $R$ dari pusatnya — interval berjalan dari $a-R$ hingga $a+R$, titik akhir dicek terpisah.
Deret pangkat $\sum c_n(x-a)^n$ konvergen untuk...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Dalam jari-jari $R$ dari pusat $a$.
Jari-jari konvergensi $R$ dapat...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Jari-jari tidak pernah negatif.
Mendapatkan R dari Uji Rasio
- Terapkan Uji Rasio: tetapkan $\lim\big|\tfrac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\big|<1$ dan selesaikan untuk $|x-a|$.
- Ketaksamaan itu berbentuk $|x-a|<R$, yang mengungkapkan jari-jari secara langsung.
- Titik pusatnya adalah $a$; interval berjalan dari $a-R$ hingga $a+R$.
- Uji rasio melakukan pekerjaan berat — aljabar hanya mengisolasi $|x-a|$.
Untuk $\sum\tfrac{x^n}{n}$, Uji Rasio menghasilkan $|x|<1$. Apa $R$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$R=1$.
Jari-jari konvergensi biasanya ditemukan menggunakan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Uji Rasio pada suku-sukunya mengungkapkan $|x-a|<R$.
Periksa titik akhir secara terpisah
- Uji Rasio tidak konklusif di titik akhir $x=a\pm R$ (di sana $L=1$).
- Jadi uji setiap titik akhir secara individu dengan memasukkannya dan menggunakan uji deret lain.
- Interval konvergensi mungkin tidak mencakup, mencakup salah satu, atau mencakup keduanya.
- Tulis interval dengan kurung buka/tutup yang benar setelah memeriksa kedua ujungnya.
Uji Rasio tidak dapat memutuskan pada titik akhir, yang harus diuji secara terpisah.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pada $x=a\pm R$, $L=1$; gunakan uji lain.
Untuk $\sum\tfrac{x^n}{n}$: $x=1$ divergen, $x=-1$ konvergen. Interval konvergensi adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Sertakan $-1$ (konvergen), eksklusi $1$ (divergen).
Uji Rasio memberikan jari-jari tetapi tidak konklusif di titik akhir — Anda harus menguji $x=a-R$ dan $x=a+R$ secara terpisah (mereka bisa konvergen atau divergen secara independen). Jangan berasumsi interval terbuka atau tertutup; jawabannya mungkin $[a-R,a+R)$, $(a-R,a+R]$, dll. Periksa kedua ujung setiap saat.
Temukan jari-jari dan interval konvergensi dari $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}$.
- Uji Rasio: $\lim\big|\tfrac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\big|=|x|\cdot\lim\tfrac{n}{n+1}=|x|<1$, sehingga $R=1$.
- Titik akhir: $x=1\Rightarrow\sum\tfrac1n$ (divergen); $x=-1\Rightarrow\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ (konvergen).
- Interval konvergensi: $[-1,1)$.
Sebuah deret pangkat $\sum c_n(x-a)^n$ konvergen untuk $|x-a|<R$, di mana $R$ adalah jari-jari konvergensi (ditemukan melalui Uji Rasio). Interval konvergensi adalah dari $a-R$ hingga $a+R$, dengan titik akhir diuji secara terpisah (uji rasio tidak konklusif di sana) untuk menentukan buka vs. tutup.