Batas Kesalahan Lagrange
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| Lagrange error bound/ˈlæɡreɪndʒ ˈerə baʊnd/ | Batas Kesalahan Lagrange |
Membatasi kesalahan polinomial Taylor
- Polinomial Taylor hanyalah pendekatan. Seberapa salah hal itu bisa?
- Batas kesalahan Lagrange memberikan batas atas terjamin pada sisaan.
- Menggunakan turunan berikutnya — turunan pertama yang tidak dicocokkan oleh polinomial.
- Dengan batas ini, Anda dapat membuktikan bahwa suatu pendekatan akurat hingga toleransi yang dibutuhkan.
Batas tersebut
- Kesalahan dari polinomial Taylor derajat-$n$ $P_n$ pada $x$ memenuhi:
-
$$|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}\,\big|x-a\big|^{\,n+1}$$
- Di sini $M$ adalah maksimum dari $\big|f^{(n+1)}\big|$ pada interval antara $a$ dan $x$.
- Tampaknya seperti suku Taylor berikutnya, tetapi dengan turunan digantikan oleh ukuran kasus terburuknya $M$.
Selisih yang dibatasi oleh batas tersebut
y = a·e^{bx}
Batas Lagrange membatasi selisih antara $e^x$ dan polinomial Taylornya menggunakan maksimum turunan berikutnya $M$.
Batas kesalahan Lagrange adalah $|R_n(x)|\le$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Menggunakan batasan turunan ke-$(n+1)$ dan $(n+1)!$.
Menemukan bagian-bagian tersebut
- $(n+1)$: satu lebih dari derajat polinomial — orde suku pertama yang hilang.
- $M$: batas pada nilai mutlak turunan ke-$(n+1)$ antara $a$ dan $x$ (gunakan nilai terbesar yang muncul).
- $|x-a|^{n+1}$: jarak dari titik pusat, dipangkatkan dengan pangkat tersebut.
- Kalikan, bagi dengan $(n+1)!$, dan Anda memiliki jaminan batas kesalahan.
Untuk polinomial derajat-$n$, $M$ membatasi turunan mana?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Satu tingkat di atas derajat: turunan ke-$(n+1)$.
Dalam batas tersebut, $M$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Batas kasus terburuk pada turunan berikutnya.
Membuktikan akurasi
- Untuk menunjukkan bahwa $P_n$ berada dalam rentang, katakanlah $0.001$: hitung batas Lagrange dan periksa apakah itu ≤ $\le 0.001$.
- Karena batas melebihi kesalahan sebenarnya, jika batasnya kecil, maka kesalahan aslinya lebih kecil lagi.
- $n$ yang lebih besar mengecilkan batas (faktorial lebih besar, akurasi lebih tinggi).
- Ini adalah pendamping rigor untuk pendekatan Taylor.
Dengan $M=1.2$, $n=2$, $x=0.1$, $a=0$: $\dfrac{1.2}{3!}(0.1)^3=$ ? (desimal)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{1.2}{6}\cdot0.001=0.0002$.
Batas Lagrange adalah plafon yang terjamin, biasanya lebih besar dari kesalahan aktual.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Jika batasnya kecil, kesalahan sejati lebih kecil.
Meningkatkan derajat $n$ umumnya membuat batas kesalahan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Faktorial yang lebih besar mengecilkan batas → akurasi lebih tinggi.
Gunakan turunan ke-$(n+1)$ dan faktorial $(n+1)!$ — satu tingkat di atas derajat polinomial, bukan $n$. $M$ adalah maksimum dari $|f^{(n+1)}|$ pada interval antara $a$ dan $x$ (batas kasus terburuk, jadi pilih nilai yang dapat Anda justifikasi cukup besar). Batas ini adalah jaminan, biasanya lebih besar daripada kesalahan aktual.
Batasi kesalahan polinomial Maclaurin berderajat-$2$ untuk $e^x$ pada $x=0.1$.
- Turunan berikutnya: $f'''(x)=e^x$; pada $[0,0.1]$, nilainya $M=e^{0.1}\le 1.2$.
- $|R_2(0.1)|\le \dfrac{1.2}{3!}\,(0.1)^3=\dfrac{1.2}{6}(0.001)=0.0002$.
- Jadi $1+0.1+\tfrac{0.01}{2}=1.105$ berada dalam $0.0002$ dari $e^{0.1}$. ✓
Batas kesalahan Lagrange: $|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$, di mana $M$ membatasi turunan ke-$(n+1)$ pada interval antara $a$ dan $x$. Ini adalah suku Taylor berikutnya dengan turunan diganti oleh nilai maksimumnya — jaminan batas kesalahan untuk membuktikan pendekatan memenuhi toleransi.