Mencari Pendekatan Polinomial Taylor dari Fungsi
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | Polinomial Taylor |
| Maclaurin polynomial/məˈklɔːrɪn ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | Polinomial Maclaurin |
Mendekati fungsi dengan polinomial
- Linearisasi (Unit 4) menggunakan garis singgung untuk mendekati suatu fungsi. Mengapa berhenti di garis saja?
- Polinomial Taylor mencocokkan nilai fungsi dan beberapa turunannya di satu titik.
- Semakin banyak turunannya yang dicocokkan, semakin baik polinomial itu mengikuti kurva di dekatnya.
- Polinomial mudah dihitung, sehingga merupakan pengganti yang kuat untuk fungsi-fungsi yang rumit.
Membangun polinomial
- Berpusat di $x=a$, polinomial Taylor berderajat $n$ adalah:
-
$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots$$
- Setiap suku menggunakan turunan $k$-ke di $a$, dibagi dengan $k!$, dikali $(x-a)^k$.
- Bagian berderajat $1$ persis sama dengan linearisasi; suku-suku tambahan menambah kelengkungan.
Suku ke-$k$ dari polinomial Taylor yang berpusat di $a$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Turunan pada $a$, dibagi $k!$, dikali $(x-a)^k$.
Setiap turunan dalam polinomial Taylor dievaluasi pada ____ $a$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Gunakan $f^{(k)}(a)$, bukan $f^{(k)}(x)$.
Maclaurin: berpusat di nol
- Polinomial Maclaurin hanyalah polinomial Taylor yang berpusat di $a=0$.
- $P_n(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots$ — $(x-a)$ faktor menjadi $x^k$ biasa.
- Yang umum perlu dihafal: $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ memiliki polinomial Maclaurin yang bersih.
- Resep yang sama, berpusat di titik asal.
Polinomial Maclaurin adalah polinomial Taylor yang berpusat di...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Maclaurin = berpusat di $0$.
Lebih akurat di tengah
- Pendekatan ini paling baik di sekitar $x=a$ dan semakin buruk seiring menjauh.
- Menambahkan lebih banyak suku (derajat lebih tinggi) meningkatkan akurasi pada rentang yang lebih luas.
- Cocokkan nilai, kemiringan, kecekungan, dan seterusnya — setiap turunan menetapkan satu fitur lagi.
- Garis singgung hanyalah dua suku pertama dari ide yang lebih besar ini.
Sebuah polinomial yang menyatu dengan eˣ
y = a·e^{bx}
Polinomial Maclaurin derajat-2 $1+x+\tfrac{x^2}{2}$ menyatu dengan $e^x$ di sekitar $0$ — semakin banyak suku memperluas rentang kecocokan yang baik.
Polinomial Maclaurin derajat-2 untuk $e^x$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Semua turunan dari $e^x$ pada $0$ bernilai $1$.
Suku Taylor membagi turunan ke-$k$ dengan $k!$ (faktorial).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Bagilah dengan $k!$, bukan $k$.
Aproksimasi polinomial Taylor paling akurat...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Akurasi terbaik dekat $a$ dan membaik dengan lebih banyak suku.
Jangan hilangkan faktorial: suku ke-$k$ adalah $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — bagi dengan $k!$, bukan hanya $k$. Evaluasi setiap turunan di titik tengah $a$ (bukan di $x$). Dan aproksimasi hanya baik dekat $a$; jauh darinya, polinomial Taylor yang dipotong bisa sangat meleset.
Temukan polinomial Maclaurin derajat-$2$ untuk $f(x)=e^x$.
- $f(0)=1$, $f'(0)=1$, $f''(0)=1$ (karena setiap turunan dari $e^x$ adalah $e^x$).
- $P_2(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2=1+x+\frac{x^2}{2}$.
- Di dekat $0$, $e^x\approx 1+x+\tfrac{x^2}{2}$ (misalnya $e^{0.1}\approx1.105$). ✓
Sebuah polinomial Taylor yang berpusat pada $a$ adalah $P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — mencocokkan nilai fungsi dan turunannya pada $a$. Polinomial Maclaurin merupakan kasus khusus $a=0$. Pertahankan faktorial, hitung turunan pada $a$, dan harapkan akurasi terbaik di dekat pusat.