Batas Kesalahan Deret Berganti Tanda
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| alternating series error bound/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz ˈerə baʊnd/ | Batas Kesalahan Deret Berganti Tanda |
Seberapa dekat sebuah jumlah parsial?
- Jika Anda menghentikan barisan berselang-seli setelah beberapa suku, seberapa jauh perkiraan Anda meleset?
- Untuk barisan berselang-seli yang konvergen, terdapat batas yang sangat sederhana.
- Batas kesalahan barisan berselang-seli: kesalahannya tidak lebih besar dari suku pertama yang dihilangkan.
- Satu suku memberikan informasi akurasi — tanpa perhitungan rumit.
Batas tersebut
- Perkirakan jumlah $S$ dengan menggunakan jumlah parsial ke-$n$ $S_n$. Sisaan (kesalahan) adalah $|S-S_n|$.
- Untuk barisan berselang-seli yang konvergen (menurun $b_n\to0$):
-
$$|S-S_n|\le b_{n+1}$$
- Kesalahannya paling banyak sama dengan nilai mutlak suku berikutnya — suku pertama yang Anda tinggalkan.
Suku berikutnya membatasi kesalahan
Jumlah parsial deret berganti tanda menjebak jumlah sebenarnya, sehingga kesalahannya paling besar sebesar ukuran suku berikutnya (yang diabaikan).
Untuk deret berganti tanda yang konvergen, kesalahan $|S-S_n|$ paling besar...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$|S-S_n|\le b_{n+1}$.
Kesalahan dibatasi oleh suku ____ pertama, bukan yang terakhir termasuk.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Gunakan $b_{n+1}$, suku yang belum Anda tambahkan.
Mengapa suku berikutnya membatasinya
- Karena suku-sukunya berselang-seli dan mengecil, jumlah sebenarnya selalu terjebak di antara jumlah parsial yang berurutan.
- Jadi berhenti di $S_n$ akan melebihi atau kurang melebihi sebesar kurang dari ukuran suku berikutnya.
- Jumlah parsial menyempit seperti akordeon yang mengecil di sekitar $S$.
- Oleh karena itu, suku yang sangat berikutnya adalah batas kesalahan yang terjamin.
Mendekati $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ dengan $3$ suku, batas kesalahannya adalah suku berikutnya $b_4$. Berapakah itu?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$b_4=\tfrac14=0.25$.
Jumlah sebenarnya selalu terjebak antara jumlah parsial berturutan dari deret berganti tanda.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Itulah sebabnya suku berikutnya membatasi kesalahan.
Menggunakannya untuk menjamin akurasi
- Ingin kesalahan di bawah $0.01$? Temukan suku pertama dengan $b_{n+1}\le 0.01$ dan hentikan di sana.
- Batas ini memungkinkan Anda menentukan berapa banyak suku yang diperlukan untuk akurasi target.
- Ini hanya berlaku untuk barisan berselang-seli yang memenuhi syarat Uji Barisan Berselang-Seli.
- Sederhana, ketat, dan ramah ujian.
Batas kesalahan ini berlaku untuk sembarang deret yang konvergen, berganti tanda atau tidak.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Hanya deret berganti tanda yang memenuhi syarat uji.
Untuk menjamin kesalahan di bawah $0.01$, Anda terus mengambil suku sampai suku berikutnya $b_{n+1}$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Berhenti ketika $b_{n+1}\le0.01$.
Batas ini bekerja hanya untuk deret berselang-seling yang memenuhi Uji Deret Berselang-seling (menurun $b_n\to0$) — ia tidak berlaku untuk deret suku positif. Kesalahan dibatasi oleh suku pertama yang terlewat $b_{n+1}$, bukan yang terakhir termasuk. Gunakan $b_{n+1}$, ukuran suku yang tidak Anda tambahkan.
Perkirakan $\sum_{n=1}^\infty\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ dengan $3$ suku pertama; batasi kesalahannya.
- $S_3=1-\tfrac12+\tfrac13=\tfrac{5}{6}\approx0.833$.
- Suku pertama yang dihilangkan: $b_4=\tfrac14$. Maka $|S-S_3|\le\tfrac14=0.25$.
- Jumlah sebenarnya $\ln 2\approx0.693$ memang berada dalam $0.25$ dari $0.833$. ✓
Batas kesalahan deret berselang-seling: untuk deret berselang-seling yang konvergen, kesalahan jumlah parsial ke-$n$ paling banyak suku pertama yang terlewat, $|S-S_n|\le b_{n+1}$. Ini hanya berlaku untuk deret berselang-seling yang memenuhi kondisi uji, dan memungkinkan Anda memilih berapa banyak suku yang menjamin akurasi target.