Menentukan Konvergensi Mutlak atau Kondisional
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| Absolute convergence/ˈæbsəluːt kənˈvɜːdʒəns/ | Konvergensi Mutlak |
| Conditional convergence/kənˈdɪʃənl kənˈvɜːdʒəns/ | Konvergensi Bersyarat |
Tanda saja tidak menentukan konvergensi
- Dua koreksi kesalahan memiliki suku (-1)^n/n dan (-1)^n/n². Keduanya berselang-seling, tetapi hanya yang kedua yang mutlak konvergen.
- Untuk 1/n, deret nilai mutlak adalah harmonik dan divergen; deret bertanda lulus uji deret selang-seling. Untuk 1/n², p-series nilai mutlak konvergen.
Dua tingkat konvergensi
- Deret konvergen dapat konvergen secara kuat atau secara rapuh. Konvergensi mutlak: deret nilai mutlak $\sum|a_n|$ juga konvergen.
- Konvergensi kondisional: deret tersebut konvergen, tetapi $\sum|a_n|$ divergen — ia bergantung pada pembatalan. Membedakannya memberi tahu Anda seberapa kokoh jumlah tersebut.
Konvergensi absolut lebih kuat
- Periksa $\sum|a_n|$ terlebih dahulu. Jika ia konvergen, deret asli konvergen secara mutlak. Konvergensi mutlak menyiratkan konvergensi biasa — ini adalah jenis yang aman dan kokoh.
- Anda bahkan dapat menyusun ulang deret yang konvergen secara mutlak sesuka hati tanpa mengubah jumlah totalnya. Sebagian besar uji konvergensi (rasio, perbandingan) sebenarnya menguji konvergensi mutlak.
Konvergensi dengan pergantian tanda
Deret berganti tanda mungkin hanya konvergen karena pembatalan — deret nilai mutlaknya bisa saja menyimpang (kondisional).
Sebuah deret dikatakan konvergen mutlak ketika...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mutlak = deret nilai mutlaknya konvergen.
Konvergensi mutlak mengimplikasikan (konvergensi biasa).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Jenis kuat ini selalu konvergen.
Konvergensi kondisional bergantung pada tanda
- Jika $\sum a_n$ konvergen tetapi $\sum|a_n|$ divergen, konvergensi bersifat bersyarat. Deret harmonik berganti tanda $\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ merupakan kasus klasik: ia konvergen, tetapi $\sum\tfrac1n$ divergen.
- Konvergensinya bergantung sepenuhnya pada pembatalan tanda yang berganti-ganti — hilangkan tanda-tanda tersebut dan nilai tersebut akan meledak. Rapuh, namun tetap konvergen.
Sebuah deret dikatakan konvergen kondisional ketika $\sum a_n$ konvergen tetapi $\sum|a_n|$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Konvergen, tetapi deret nilai mutlaknya menyimpang.
Mengurut ulang suku-suku deret yang konvergen kondisional dapat mengubah nilainya.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Hanya deret yang konvergen mutlak yang dapat diurut ulang dengan aman.
Prosedur pengambilan keputusan
- 1. Uji $\sum|a_n|$. Jika konvergen → konvergen mutlak (selesai). 2. Jika $\sum|a_n|$ divergen, uji $\sum a_n$ itu sendiri (sering kali Uji Deret Ganti Tanda).
- Jika $\sum a_n$ konvergen → konvergen bersyarat; jika tidak → divergen. Ambil nilai mutlak terlebih dahulu, lalu seri dengan tandanya.
Deret harmonik berganti tanda $\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Konvergen, tetapi $\sum\tfrac1n$ menyimpang → kondisional.
Untuk mengklasifikasikan, Anda terlebih dahulu menguji...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Uji deret nilai mutlaknya terlebih dahulu.
Tes deret nilai mutlak $\sum|a_n|$ terlebih dahulu. Absolut = $\sum|a_n|$ konvergen; kondisional = $\sum a_n$ konvergen tetapi $\sum|a_n|$ divergen. Deret yang konvergen kondisional bukan sama dengan konvergen absolut — jumlahnya bahkan bisa berubah jika Anda menyusun ulang sukunya. Jangan sebut deret berganti tanda yang sekadar konvergen sebagai "absolut" konvergen.
Klasifikasikan $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n}$.
- Nilai mutlak: $\sum\tfrac1n$ adalah deret harmonik → divergen. Jadi tidak konvergen mutlak.
- Barisan itu sendiri: berselang-seli, $b_n=\tfrac1n$ menurun ke $0$ → konvergen (Uji Barisan Berselang-Seli).
- Konvergen tapi tidak mutlak → konvergen kondisional.
Terapkan penalaran ke kasus baru
- Cobalah (-1)^n n/(n+1).
- Suku-sukunya tidak mendekati nol, sehingga deret tersebut divergen sebelum klasifikasi bersyarat pun memungkinkan.
Match each series to its convergence classification.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Check absolute values and the original terms. Alternation alone establishes neither convergence nor conditional convergence.
Sebuah barisan konvergen mutlak jika $\sum|a_n|$ konvergen (jenis kuat — mengimplikasikan konvergensi, mengizinkan pengurutan ulang). Barisan tersebut konvergen kondisional jika $\sum a_n$ konvergen tetapi $\sum|a_n|$ divergen (bergantung pada pembatalan tanda). Uji $\sum|a_n|$ terlebih dahulu, lalu barisan yang bertanda.