Uji Rasio untuk Konvergensi
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| Ratio Test/ˈreɪʃɪəʊ test/ | Uji Rasio |
Membandingkan satu suku dengan suku sebelumnya
- Ketika suku melibatkan faktorial atau pangkat $n$, perbandingan menjadi rumit. Gunakan Tes Rasio saja.
- Tes ini melihat bagaimana setiap suku dibandingkan dengan sebelumnya — rasio $\big|\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\big|$ — dalam limit.
- Rasio yang settles di bawah $1$ berarti suku mengecil secara geometris cepat, memaksa konvergensi.
- Ini adalah tes pilihan untuk faktorial dan eksponensial.
Ujian tersebut
- Hitung $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$.
- $L<1$: deret tersebut konvergen (secara absolut).
- $L>1$ (atau $L=\infty$): deret tersebut divergen.
- $L=1$: tes ini tidak dapat disimpulkan — gunakan tes lain.
Rasio di bawah 1 memaksa konvergensi
Jika rasio suku berturutan stabil di bawah $1$, suku-suku menyusut sangat cepat secara geometris — deret tersebut konvergen.
Dalam Uji Rasio, jika $L=\lim|a_{n+1}/a_n|<1$, maka serinya...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$L<1$ → konvergen.
Uji Rasio menggunakan nilai mutlak dari rasio suku berturutan.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$L=\lim|a_{n+1}/a_n|$.
Faktorial dan pangkat menyukai tes rasio
- Faktorial teleskopis dengan indah: $\dfrac{(n+1)!}{n!}=n+1$ — rasio menyederhanakan diri secara luar biasa.
- Sama juga untuk pangkat $n$ dari sebuah konstanta: $\dfrac{r^{n+1}}{r^n}=r$.
- Jadi deret seperti $\sum\tfrac{2^n}{n!}$ atau $\sum\tfrac{n!}{n^n}$ adalah masalah alami untuk tes rasio.
- Tulis $\tfrac{a_{n+1}}{a_n}$, coret, lalu ambil limitnya.
Jika Uji Rasio menghasilkan $L=1$, maka...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$L=1$ tidak memberikan informasi.
Untuk $a_n=\tfrac{2^n}{n!}$, $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\frac{2}{n+1}$.
Uji Rasio bekerja terutama baik untuk deret dengan...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
p-series menghasilkan $L=1$ (tak berguna); faktorial/eksponensial menyederhanakan dengan baik.
Zona mati $L=1$
- Ketika $L=1$, tes rasio memberikan tidak ada informasi — deret bisa konvergen atau divergen.
- Hal ini terjadi pada p-series (mis. $\sum\tfrac1{n^2}$ menghasilkan $L=1$), di mana Anda akan menggunakan aturan p-series saja.
- Jadi tes rasio bersinar pada faktorial/eksponensial tetapi tak berguna pada pangkat biasa dari $n$.
- Kenali $L=1$ dan ganti alat.
Karena $\lim\tfrac{2}{n+1}=0<1$, maka serinya $\sum\tfrac{2^n}{n!}$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$L=0<1$ → konvergen.
Ambil nilai mutlak dari rasio, dan ingat tiga kasus: $L<1$ konvergen, $L>1$ divergen, $L=1$ tidak dapat disimpulkan (jangan menebak — gunakan uji lain). Uji rasio kuat untuk faktorial/eksponensial tetapi memberikan $L=1$ (tak berguna) pada deret-p seperti $\sum\tfrac1{n^p}$.
Apakah $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n}{n!}$ konvergen?
- $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\dfrac{2}{n+1}$.
- $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{2}{n+1}=0<1$.
- Karena $L<1$, deret tersebut konvergen.
Tes Rasio: $L=\lim\big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\big|$. $L<1$ → konvergen, $L>1$ → divergen, $L=1$ → tidak dapat disimpulkan. Ideal untuk faktorial dan eksponensial (rasio menyederhanakan); tak berguna (memberikan $L=1$) pada p-series.