Uji Deret Berganti Tanda untuk Konvergensi
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/ | Deret Berganti Tanda |
Deret yang tandanya berganti
- Beberapa deret bergantian tanda: $+,-,+,-,\dots$, seperti $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$.
- Ini adalah deret berselang-seling, dan mereka memiliki uji konvergensi lembut tersendiri.
- Pembalikan tanda memungkinkan suku-suku saling meniadakan sebagian, sehingga deret berselang-seling lebih mudah konvergen.
- Satu uji dengan dua kondisi sederhana menangani mereka.
Uji Deret Berselang-seling
- Deret berselang-seling $\sum(-1)^n b_n$ (dengan $b_n>0$) konvergen jika kedua:
- 1. suku-suku menurun: $b_{n+1}\le b_n$, dan
- 2. suku-suku mengecil menuju nol: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0$.
- Jika keduanya terpenuhi, deret berganti tanda konvergen. Semudah itu.
Suku berganti tanda yang mengecil
Jika bagian positif menurun menuju $0$, perubahan tanda membuat jumlah parsial mendekat — deret tersebut konvergen.
Uji Deret Berganti Tanda mensyaratkan suku-suku positif $b_n$ menjadi yang mana?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Menurun dan limit $0$.
Mengapa tanda ganti membantu
- Setiap suku baru lebih kecil dari sebelumnya dan berlawanan tanda, sehingga sebagian membatalkan suku sebelumnya.
- Jumlah parsial melompat-lompat, namun dengan jarak yang semakin mengecil — mendekati suatu limit.
- Itulah sebabnya $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ konvergen, meskipun $1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$ (harmonik) divergen.
- Pergantian tanda inilah yang menyetir suku-suku harmonik.
Deret harmonik berganti tanda $\sum\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$b_n=\tfrac1n$ menurun menuju $0$ → konvergen.
Tanda ____ membuat jumlah parsial mendekati suatu limit.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pergantian tanda menyebabkan pembatalan parsial.
$\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ konvergen meskipun $\sum\tfrac1n$ menyimpang.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pergantian tanda menundamkan suku-suku harmonik.
Menerapkannya dengan jelas
- Lepaskan $(-1)^n$ dan periksa bagian positif $b_n$ untuk dua syarat tersebut.
- Apakah $b_n$ menurun? Apakah $b_n\to0$? Jika ya pada keduanya, maka konvergen.
- Jika $b_n$ tidak menuju ke $0$, deret tersebut divergen (melalui Tes Suku ke-n).
- Tes ini cepat setelah Anda mengisolasi $b_n$.
Anda memeriksa dua kondisi pada bagian positif $b_n$ setelah menghilangkan $(-1)^n$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Isolasi $b_n$ terlebih dahulu.
Jika $b_n\not\to0$ untuk deret berganti tanda, maka serinya...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Suku-suku tidak $\to0$ → menyimpang terlepas dari pergantian tanda.
Terapkan dua syarat tersebut pada suku-suku positif $b_n$ (setelah menghilangkan $(-1)^n$). Kedua syarat diperlukan: menurun dan limit $0$. Jika $b_n\not\to0$, deret tersebut divergen (Tes Suku ke-n). Tes ini membuktikan konvergensi deret berganti tanda; tidak mengatakan apa-apa tentang $\sum b_n$ atau $\sum|a_n|$ (lihat absolut vs kondisional, pelajaran 10.9).
Apakah deret harmonik berganti tanda $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$ konvergen?
- Bagian positif $b_n=\tfrac1n$. Menurun? Ya, $\tfrac1{n+1}<\tfrac1n$. Limit $0$? Ya, $\tfrac1n\to0$.
- Kedua syarat terpenuhi, sehingga deret tersebut konvergen melalui Tes Deret Berganti Tanda.
- (Meskipun deret harmonik biasa divergen.)
Tes Deret Berganti Tanda: $\sum(-1)^n b_n$ (dengan $b_n>0$) konvergen jika suku-suku $b_n$ menurun dan $b_n\to0$. Periksa kedua syarat pada bagian positif $b_n$. Pergantian tanda memungkinkan deret seperti $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ konvergen di mana versi non-ganti tandanya divergen.