Uji Perbandingan untuk Konvergensi
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| comparison tests/kəmˈpærɪsn tests/ | Uji Perbandingan |
Menilai deret berdasarkan tetangga yang diketahui
- Jika deret misterius terlihat seperti deret yang sudah Anda pahami, bandingkan keduanya.
- Uji perbandingan mengukur deret positif yang tidak diketahui terhadap deret yang diketahui (biasanya deret p atau deret geometri).
- Lebih besar daripada sesuatu yang divergen → divergen. Lebih kecil daripada sesuatu yang konvergen → konvergen.
- Dua jenis: perbandingan langsung dan perbandingan limit.
Uji Perbandingan Langsung
- Untuk suku positif dengan $0\le a_n\le b_n$:
- Jika $\sum b_n$ konvergen, maka yang lebih kecil $\sum a_n$ juga konvergen.
- Jika $\sum a_n$ divergen, maka yang lebih besar $\sum b_n$ juga divergen.
- Tekan dari sisi kanan: dibatasi atas oleh deret yang konvergen, atau dibatasi bawah oleh yang divergen.
Bandingkan dengan deret yang diketahui
Deret positif yang dibatasi oleh deret konvergen (atau menyimpang) yang diketahui akan berbagi nasibnya — pilih perbandingan dominan.
Jika $0\le a_n\le b_n$ dan $\sum b_n$ konvergen, maka $\sum a_n$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kecil dari deret konvergen → konvergen.
Uji perbandingan memerlukan suku-suku positif.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mereka membandingkan besaran deret positif.
Uji Perbandingan Limit
- Terkadang ketaksamaan sulit digunakan; alih-alih itu, bandingkan tingkat pertumbuhan.
- Ambil $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}$. Jika $L$ adalah angka positif hingga ($0<L<\infty$), maka $\sum a_n$ dan $\sum b_n$ memiliki nasib yang sama.
- Pilih $b_n$ dari suku-suku dominan $a_n$ (mis. bandingkan $\tfrac{n}{n^3+1}$ dengan $\tfrac1{n^2}$).
- Limit yang bernilai positif dan hingga berarti mereka berperilaku serupa.
Dalam Uji Perbandingan Limit, jika $\lim\tfrac{a_n}{b_n}=L$ dengan $0<L<\infty$, maka...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Limit positif hingga → perilaku konvergensi yang sama.
Agar Uji Perbandingan Limit dapat menyimpulkan, limit $L$ harus hingga dan ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$0<L<\infty$ diperlukan.
Memilih deret perbandingan
- Perhatikan perilaku dominan dari $a_n$ untuk $n$ yang besar — pangkat tertinggi di pembilang dan penyebut.
- $\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$ berperilaku seperti $\dfrac{3n^2}{n^4}=\dfrac{3}{n^2}$ — bandingkan dengan deret p $\tfrac1{n^2}$.
- Kemudian batasi secara langsung atau ambil rasio limit.
- Deret perbandingan yang tepat mengubah deret menakutkan menjadi deret yang diketahui.
Untuk menguji $\sum\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$, deret perbandingan yang baik adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Perilaku dominan $\tfrac{3n^2}{n^4}=\tfrac{3}{n^2}$ → bandingkan dengan $\tfrac1{n^2}$.
Karena $\tfrac{1}{n^2+1}<\tfrac1{n^2}$ dan $\sum\tfrac1{n^2}$ konvergen, $\sum\tfrac{1}{n^2+1}$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Dibatasi atas oleh deret konvergen → konvergen.
Uji perbandingan membutuhkan suku positif. Untuk Perbandingan Langsung, ketaksamaan harus mengarah ke arah yang benar: untuk membuktikan konvergensi, batasi atas dengan deret yang konvergen; untuk membuktikan divergensi, batasi bawah dengan deret yang divergen. Untuk Perbandingan Limit, limit $L$ harus hingga dan positif ($0<L<\infty$) untuk menyimpulkan nasib yang sama.
Apakah $\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ konvergen?
- Untuk $n$ yang besar, $\dfrac{1}{n^2+1}$ berperilaku seperti $\dfrac{1}{n^2}$ (deret p yang konvergen).
- Langsung: $\dfrac{1}{n^2+1}<\dfrac{1}{n^2}$, dan $\sum\tfrac1{n^2}$ konvergen → maka deret yang lebih kecil juga.
- Oleh karena itu $\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ konvergen.
Uji perbandingan menilai deret positif terhadap deret yang diketahui. Langsung: batasi atas dengan deret konvergen (→ konvergen) atau batasi bawah dengan yang divergen (→ divergen). Limit: jika $\lim\frac{a_n}{b_n}$ hingga dan positif, keduanya memiliki nasib yang sama. Pilih $b_n$ dari suku-suku dominan $a_n$.