Deret Harmonik dan Deret p
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| harmonic series/hɑːˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/ | Deret Harmonik |
| p-series/piː ˈsɪəriːz/ | Deret p |
Satu keluarga besar kasus uji
- Dua deret terkait muncul sangat sering sehingga mendapat nama — dan aturan konvergensi sederhana.
- Deret harmonik adalah $\sum\tfrac1n=1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$.
- Deret p memgeneralisasikannya: $\sum\tfrac1{n^p}$ untuk pangkat tetap $p$.
- Satu ambang batas yang jelas pada $p$ menentukan konvergensi bagi seluruh keluarga.
Aturan deret p
- $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}}$ konvergen jika $p>1$ dan divergen jika $p\le 1$.
- Nilai $p$ yang lebih besar membuat suku-sukunya menyusut lebih cepat — cukup cepat untuk konvergen sekali $p$ melebihi $1$.
- Hal ini mengikuti langsung dari Uji Integral pada $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$.
- Hafalkan ambang batasnya: pemotongannya tepat di $p=1$.
Seberapa cepat suku-sukunya menyusut?
Deret p konvergen hanya jika suku-sukunya $\tfrac1{n^p}$ menyusut cukup cepat — ambangnya tepat $p>1$.
Deret p $\sum\tfrac1{n^p}$ konvergen tepat ketika...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Konvergen jika dan hanya jika $p>1$.
Batas ambang konvergensi untuk p-series tepat $p=$ ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Konvergen untuk $p>1$, divergen untuk $p\le1$.
Deret harmonik adalah batas
- Deret harmonik adalah kasus $p=1$ — dan $p=1$ divergen.
- Suku-sukunya $\tfrac1n\to0$, namun jumlahnya tumbuh tanpa batas (lambat, tapi selamanya).
- Ini adalah contoh klasik "suku-suku menyusut tetapi deret tetap divergen".
- $p=1$ berada tepat di sisi yang salah dari pemotongan.
Deret harmonik $\sum\tfrac1n$ ($p=1$)...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$p=1$ menyimpang, meskipun suku-suku $\to0$.
Deret harmonik menunjukkan bahwa suku-suku menuju $0$ tidak menjamin konvergensi.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Suku-sukunya $\to0$ namun tetap menyimpang.
Pengecekan konvergensi instan
- Kenali deret p dan Anda melewati semua perhitungan — hanya bandingkan $p$ dengan $1$.
- $\sum\tfrac1{n^2}$: $p=2>1$ → konvergen. $\sum\tfrac1{\sqrt n}=\sum\tfrac1{n^{1/2}}$: $p=\tfrac12\le1$ → divergen.
- Ini juga merupakan deret perbandingan standar untuk uji perbandingan (pelajaran berikutnya).
- Mengetahui deret p dengan hafalan mempercepat sebagian besar masalah deret.
Pilih semua deret yang konvergen.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$p=2,3>1$ konvergen; $p=\tfrac12,1$ menyimpang.
$\sum\tfrac1{\sqrt n}$ adalah p-series dengan $p=\tfrac12$. Serinya...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$p=\tfrac12\le1$ → divergen.
Pemotongannya ketat: $\sum\tfrac1{n^p}$ hanya konvergen untuk $p>1$. Kasus batas $p=1$ (harmonik) divergen — jebakan yang sangat umum, karena suku-sukunya memang menuju $0$. Dan $\sum\tfrac1{\sqrt n}$ adalah $p=\tfrac12$, yang divergen (bukan konvergen) — pangkat pecahan di bawah $1$.
Klasifikasikan setiap deret.
- $\sum\tfrac1{n^3}$: $p=3>1$ → konvergen.
- $\sum\tfrac1{n}$: $p=1$ → divergen (harmonik).
- $\sum\tfrac1{n^{0.9}}$: $p=0.9\le1$ → divergen.
Sebuah deret p $\sum\tfrac1{n^p}$ konvergen iff $p>1$; ia divergen untuk $p\le1$. Deret harmonik adalah kasus $p=1$, yang divergen meskipun suku-sukunya menuju $0$. Mengenal deret p memberikan vonis konvergensi instan.