Uji Integral untuk Konvergensi
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| Integral Test/ˈɪntɪɡrəl test/ | Uji Integral |
Deret dan integral yang naik atau turun bersama
- Jika suku-suku suatu deret berasal dari fungsi turun yang baik, nasibnya sesuai dengan integral fungsi tersebut.
- Uji Integral membandingkan $\sum a_n$ dengan $\int f(x)\,dx$, di mana $a_n=f(n)$.
- Bayangkan suku-suku sebagai area persegi panjang — mereka dibatasi oleh area di bawah kurva.
- Jadi integral tak wajar yang konvergen (atau tidak) memaksa deret untuk melakukan hal yang sama.
Syarat-syaratnya
- Uji ini memerlukan $f$ agar positif, kontinu, dan menurun untuk $x\ge$ titik tertentu.
- Kemudian definisikan $a_n=f(n)$ dan bandingkan dengan integral tak wajar.
- Syarat-syarat ini memungkinkan persegi panjang menjepit area di bawah $f$.
- Periksa ketiga syarat sebelum menerapkannya — $f$ yang tidak menurun merusak perbandingan.
Uji Integral mensyaratkan $f$ menjadi yang pada $[1,\infty)$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Positif, kontinu, menurun — tidak harus polinomial.
Uji Integral menghubungkan sebuah deret dengan integral dengan menetapkan $a_n=f(\ \_\_\ )$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Suku-sukunya adalah fungsi yang diambil sampelnya pada bilangan bulat.
Kesimpulan
- $\displaystyle\sum a_n$ dan $\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,dx$ keduanya konvergen atau keduanya divergen — nasib yang sama.
- Hitung integral tak wajar: jika bernilai hingga, deret konvergen; jika tak hingga, divergen.
- (Jumlah deret bukan nilai integral — mereka hanya berbagi konvergensi, bukan angkanya.)
- Satu integral tak wajar menetapkan seluruh deret.
Uji Integral mengatakan $\sum a_n$ dan $\int_1^\infty f\,dx$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mereka berbagi nasib, bukan nilai.
Nilai integral tak wajar sama dengan jumlah deret.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mereka berbagi konvergensi, bukan nilainya ($\sum\tfrac1{n^2}=\tfrac{\pi^2}{6}\neq1$).
Mengapa itu bekerja
- Persegi panjang dengan area $a_n$ muat tepat di atas atau di bawah kurva $y=f(x)$.
- Jadi deret terjepit antara $\int f$ dan $\int f + a_1$ — integral hingga berarti deret hingga.
- Ini adalah "perbandingan area" yang rigor, mengubah penjumlahan menjadi integral yang dapat dievaluasi.
- Ini sangat berguna untuk suku-suku seperti $\tfrac1{n^p}$ dan $\tfrac1{n\ln n}$.
Persegi panjang yang dibatasi oleh kurva
y = 1/x²
Persegi panjang suku menempel pada area di bawah $f$, sehingga deret dan integral konvergen atau divergen bersamaan.
Karena $\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (terbatas), deret $\sum\tfrac1{n^2}$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Integral terbatas → deret konvergen.
Jika $\int_1^\infty f\,dx$ divergen (menuju $\infty$), maka $\sum a_n$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nasib sama: integral divergen → deret divergen.
Uji Integral memerlukan $f$ positif, kontinu, dan menurun — periksa ketiga syarat ini. Dan uji hanya memberikan informasi tentang konvergensi/divergensi, bukan nilainya: $\sum a_n \neq \int_1^\infty f\,dx$ secara umum. Jangan melaporkan nilai integral sebagai jumlah deret.
Uji $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ dengan Uji Integral.
- $f(x)=\tfrac1{x^2}$ positif, kontinu, dan menurun untuk $x\ge1$. ✓
- $\displaystyle\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (finite, dari pelajaran 6.13).
- Integral konvergen, sehingga deret konvergen. (Jumlahnya adalah $\tfrac{\pi^2}{6}$, bukan $1$.)
Uji Integral: jika $f$ positif, kontinu, dan menurun dengan $a_n=f(n)$, maka $\sum a_n$ dan $\int_1^\infty f(x)\,dx$ memiliki nasib yang sama (keduanya konvergen atau keduanya divergen). Evaluasi integral tak wajar untuk memutuskan — tetapi nilainya bukan jumlah deret.