Bekerja dengan Deret Geometri
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ | Deret geometri |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | Rasio umum |
Satu-satunya deret yang dapat dijumlahkan secara eksak
- Kebanyakan deret sulit untuk dijumlahkan. Deret geometri adalah pengecualian yang ramah — ia memiliki rumus.
- Setiap suku adalah suku sebelumnya dikalikan dengan rasio umum tetap $r$: $a+ar+ar^2+ar^3+\cdots$.
- Ini adalah versi tak hingga dari barisan geometri yang sudah Anda ketahui.
- Dan ada aturan yang jelas mengenai kapan persis deret ini konvergen dan ke berapa nilainya.
Barisan geometri
Sebuah deret geometri menjumlahkan suku-suku yang dikalikan dengan $r$ setiap kali — ia konvergen (ke $a/(1-r)$) tepat ketika $|r|<1$.
Konvergen hanya ketika $|r|<1$
- Deret geometri konvergen tepat ketika $|r|<1$ (rasionya adalah pecahan).
- Jika $|r|\ge1$, suku-sukunya tidak mengecil menuju $0$, sehingga deret tersebut divergen.
- $\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ ($r=\tfrac12$) konvergen; $1+2+4+\cdots$ ($r=2$) divergen.
- Satu angka tunggal $|r|$ menentukan semuanya.
Sebuah deret geometri $\sum a r^n$ konvergen tepat ketika...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Konvergen jika dan hanya jika rasionya berupa pecahan, $|r|<1$.
Deret geometri mana yang divergen?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$r=2$ memiliki $|r|\ge1$ → divergen.
Rumus jumlah
- Ketika konvergen ($|r|<1$), jumlahnya adalah
-
$$\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}=\frac{a}{1-r}$$
- $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio umum.
- Masukkan nilai-nilai tersebut dan Anda akan mendapatkan jumlah tak hingga eksak — tanpa perlu menghitung limit secara manual.
Jumlah dari deret geometri konvergen adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\sum a r^n=\frac{a}{1-r}$ untuk $|r|<1$.
Rumus $\tfrac{a}{1-r}$ dapat diterapkan bahkan ketika $|r|\ge1$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Hanya ketika $|r|<1$ (konvergen).
Memperoleh $a$ dan $r$ dengan benar
- $a$ adalah suku pertama sebenarnya dari deret (berapapun titik awalnya), belum tentu $1$.
- $r$ adalah rasio antara suku-suku berurutan — bagi sembarang suku dengan suku sebelumnya.
- Jika deret dimulai dari $n=1$ alih-alih $n=0$, sesuaikan $a$ agar menjadi suku pertama itu.
- Dengan $a$ dan $r$ yang tepat, rumus $\tfrac{a}{1-r}$ akan menyelesaikan sisanya.
Temukan $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty 5\left(\tfrac13\right)^n$ (desimal).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{5}{1-1/3}=\frac{5}{2/3}=7.5$.
Dalam rumus $\tfrac{a}{1-r}$, $a$ adalah suku ____ dari deret tersebut.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$a$ adalah suku pertama yang sebenarnya.
Rumus $\frac{a}{1-r}$ berlaku hanya ketika $|r|<1$ — menggunakannya pada deret geometrik yang divergen menghasilkan angka tak bermakna. Dan $a$ adalah suku pertama seperti tertulis, tidak selalu $1$: untuk $\sum_{n=1}^\infty 3\cdot 2^{-n}=\tfrac32+\tfrac34+\cdots$, suku pertamanya adalah $\tfrac32$, bukan $3$.
Temukan jumlah dari $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 5\left(\tfrac13\right)^{n}$.
- Suku pertama $a=5$, rasio umum $r=\tfrac13$. Karena $|r|<1$, deret tersebut konvergen.
- $\displaystyle\sum=\frac{a}{1-r}=\frac{5}{1-\tfrac13}=\frac{5}{\tfrac23}=\frac{15}{2}$.
Sebuah deret geometri $\sum a\,r^n$ konvergen jika dan hanya jika $|r|<1$, dan kemudian berjumlah $\frac{a}{1-r}$ (dengan $a$ sebagai suku pertama, $r$ sebagai rasio umum). Jika $|r|\ge1$ maka divergen. Ini adalah satu-satunya deret yang memiliki penjumlahan eksak dan mudah.