Mendefinisikan Deret Tak Hingga Konvergen dan Divergen
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/ | Deret tak hingga |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | Konvergen |
| diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/ | Divergen |
| partial sum/ˈpɑːʃl sʌm/ | J parsial |
Menjumlahkan tak terhingga banyaknya angka
- Bisakah Anda menjumlahkan tak terhingga banyaknya suku dan mendapatkan total hingga? Terkadang ya.
- Deret tak hingga adalah jumlah $a_1+a_2+a_3+\cdots$ dari suku-suku sebuah barisan.
- Deret tersebut konvergen jika total berjalan mendekati bilangan hingga, dan divergen jika tidak.
- Unit ini sepenuhnya tentang memutuskan mana — dan, ketika konvergen, ke berapa.
Jumlah parsial adalah kunci
- Tambahkan suku-suku satu per satu: jumlah parsial $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ adalah total dari $n$ suku pertama.
- Jumlah parsial ini membentuk barisan mereka sendiri $S_1,S_2,S_3,\dots$.
- Nilai deret didefinisikan sebagai limit dari jumlah parsial: $\displaystyle\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$.
- Jadi penjumlahan tak hingga sebenarnya adalah limit — ide limit yang sama dari Unit 1.
Suku-suku deret konvergen
Suku-suku dari $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$ menyusut secara geometris, sehingga jumlah parsialnya stabil pada suatu limit terbatas.
Nilai dari sebuah deret tak hingga didefinisikan sebagai limit dari...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$.
Jumlah dari $n$ suku pertama, $S_n$, disebut jumlah parsial ke-$n$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Deret tersebut adalah limit dari jumlah-jumlah parsial ini.
Konvergen vs. divergen
- Konvergen: jumlah parsial $S_n$ mendekati limit hingga $L$ — limit $L$ itulah jumlah deret.
- Divergen: jumlah parsial tumbuh tanpa batas, atau berayun dan tidak pernah tenang.
- $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ konvergen (ke $2$); $1+1+1+\cdots$ divergen.
- Konvergensi berkaitan dengan jumlah parsial menyeimbang, bukan suku-sukunya.
Jumlah parsial dari $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$ mendekati limit apa?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Deret geometri dengan rasio $\tfrac12$ berjumlah $2$.
Deret mana yang jelas-jelas divergen?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Suku-sukunya tidak menyusut menuju $0$, jadi ia divergen.
Sebuah deret konvergen ketika jumlah parsialnya...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Konvergensi = jumlah parsial mendekati suatu $L$ terbatas.
Suku mengecil adalah syarat, tapi tidak cukup
- Agar deret konvergen, suku-sukunya harus mengecil menuju $0$ — jika tidak, total tidak bisa menyeimbang.
- Tapi suku yang mengecil sendirian tidak menjamin konvergensi (deret harmonik $\sum\tfrac1n$ memiliki suku $\to0$ namun divergen).
- Jadi "$a_n\to0$" adalah kondisi perlu, bukan kondisi cukup.
- Tes-tes dalam unit ini adalah alat untuk kasus-kasus yang lebih sulit.
Jika suku-sukunya $a_n\to 0$, deret tersebut pasti konvergen.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Syarat perlu tapi tidak cukup — mis. $\sum\tfrac1n$ divergen.
Deret adalah limit dari jumlah parsial, bukan hanya "suku-sukunya." Suku menuju $0$ adalah syarat konvergensi tetapi tidak cukup — $\sum\frac1n$ memiliki suku $\to0$ namun divergen. Jangan simpulkan konvergensi hanya karena suku mengecil; Anda memerlukan salah satu tes konvergensi.
Apakah $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ konvergen?
- Jumlah parsial: $S_1=1$, $S_2=1.5$, $S_3=1.75$, $S_4=1.875,\dots$
- Mereka naik menuju $2$ dan tidak pernah melewatinya.
- Limitnya adalah $2$, jadi deret tersebut konvergen ke $2$.
Sebuah deret tak hingga $\sum a_n$ adalah limit dari jumlah parsialnya $S_n=a_1+\cdots+a_n$: deret tersebut konvergen ke $L$ jika $S_n\to L$ (hingga), dan divergen dalam kasus lainnya. Suku-suku yang mengecil menuju $0$ adalah syarat perlu namun tidak cukup untuk konvergensi.