Menemukan Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva Polar
DiperkenalkanDaerah di antara dua kurva polar
- Sama halnya dengan kurva $x,y$, Anda dapat menemukan luas di antara dua kurva polar.
- Ambil luas di dalam kurva luar dan kurangkan luas di dalam kurva dalam.
- Masing-masing merupakan integral $\tfrac12\int r^2\,d\theta$; jawabannya adalah selisih keduanya.
- Triknya adalah menemukan di mana kurva bersilangan untuk menetapkan batas sudut.
Temukan sudut perpotongan terlebih dahulu
- Samakan kedua kurva, $f(\theta)=g(\theta)$, dan selesaikan untuk sudut perpotongan.
- Sudut-sudut ini adalah batas integrasi $\alpha,\beta$ untuk daerah yang dibatasi.
- (Perpotongan polar bisa mengecoh — suatu titik mungkin dicapai pada $\theta$ yang berbeda; buat sketsa untuk memastikan.)
- Daerah yang diminati terletak di antara sudut-sudut ini.
Luas antara dua kurva polar adalah $\tfrac12\int_\alpha^\beta(\ ?\ )\,d\theta$ di mana integran adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kuadrat luar dikurangi kuadrat dalam.
Untuk menetapkan batas sudut, temukan sudut ____ dengan menyelesaikan $f(\theta)=g(\theta)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Di mana kurva berpotongan membatasi daerah tersebut.
Kuadrat luar dikurangi kuadrat dalam
- Pada interval, identifikasi kurva mana yang luar ($r$ lebih besar) dan mana yang dalam.
- Luas di antaranya adalah:
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\Big(\big[r_{\text{outer}}\big]^2-\big[r_{\text{inner}}\big]^2\Big)\,d\theta$$
- Kuadratkan masing-masing jari-jari, kurangkan, bagi dua, integralkan — pencuci piring polar.
Antara dua kurva polar
Luas antara dua kurva polar mengurangi sektor dalam dari sektor luar — $\tfrac12\int(r_\text{out}^2-r_\text{in}^2)\,d\theta$.
Over interval, kurva luar adalah yang memiliki...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Luar = lebih jauh dari titik asal = nilai $r$ yang lebih besar.
Kuadratkan dulu, baru kurangkan
- Sama seperti pencuci piring Kartesius, ini adalah $r_{\text{out}}^2-r_{\text{in}}^2$, bukan $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$.
- Kuadratkan masing-masing jari-jari sebelum mengurangkan.
- Periksa kurva mana yang berada di luar pada interval — bisa berganti, sehingga perlu dipisah.
- Both $\tfrac12$ and the squares are essential.
Luas dalam $r=2$, luar $r=1$: $\tfrac12\int_0^{2\pi}(4-1)\,d\theta$ (sebagai kelipatan dari $\pi$).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac12\cdot3\cdot2\pi=3\pi$.
Anda mengkuadratkan setiap jari-jari sebelum mengurangkan, bukan $(r_\text{out}-r_\text{in})^2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Itu adalah $r_\text{out}^2-r_\text{in}^2$.
Jika kurva luar dan dalam bertukar posisi selama interval, Anda harus memecah integral pada titik perpotongan.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pemecahan menjaga operasi luar dikurangi dalam tetap benar pada setiap bagian.
Integrannya adalah $r_{\text{outer}}^2-r_{\text{inner}}^2$ — kuadratkan sebelum mengurangkan, jangan pernah $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$. Dapatkan sudut perpotongan yang benar (sketsa kurva), dan konfirmasi kurva mana yang berada di luar selama interval; jika mereka bertukar tempat, pisahkan integral pada titik persimpangan.
Temukan luas di dalam $r=2$ tetapi di luar $r=1$ (cincin annulus).
- Luar $r=2$, dalam $r=1$, untuk semua sudut $0$ hingga $2\pi$.
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}\big(2^2-1^2\big)\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}3\,d\theta=\dfrac12\cdot3\cdot2\pi=3\pi$.
- (Sesuai dengan luas cincin $\pi(2^2-1^2)=3\pi$.) ✓
Luas di antara dua kurva polar adalah $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(r_{\text{outer}}^2-r_{\text{inner}}^2\big)\,d\theta$. Pertama temukan sudut perpotongan untuk batasnya, identifikasi luar vs. dalam, dan kuadratkan masing-masing jari-jari sebelum mengurangkan — jangan pernah $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$.