Menemukan Luas Daerah Polar atau Luas yang Dibatasi oleh Satu Kurva Polar
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| area/ˈeərɪə/ | luas |
| sectors/ˈsektəz/ | Juring |
Luas yang disapu oleh kurva polar
- Untuk $y=f(x)$ kami memotong luas menjadi persegi panjang vertikal. Kurva polar menyapu mengelilingi titik asal.
- Jadi kami memotong daerah menjadi sektor pie tipis, masing-masing irisan lingkaran.
- Menjumlahkan area sektor-sektor tersebut memberikan luas yang dibatasi oleh kurva polar.
- Hasilnya adalah integral yang bersih dalam $\theta$.
Rumus area polar
- Sektor tipis pada sudut $\theta$ memiliki jari-jari $r=f(\theta)$ dan sudut kecil $d\theta$; luasnya adalah $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
- Jumlahkan dari $\theta=\alpha$ hingga $\theta=\beta$:
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$$
- Kuadratkan jari-jari, bagi dua, lalu integralkan atas interval sudut.
Luas yang dibatasi oleh $r=f(\theta)$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Setengah dari integral $r^2$.
Mengapa ada $\tfrac12 r^2$
- Luas sektor lingkaran penuh dengan jari-jari $r$ dan sudut $\Delta\theta$ adalah $\tfrac12 r^2\,\Delta\theta$.
- Irisan tipis kita persis seperti sektor-sektor tersebut dengan $\Delta\theta\to d\theta$.
- Menjumlahkannya (mengintegrasikan) mengakumulasi daerah yang disapu.
- Ini adalah analog polar dari "menjumlahkan persegi panjang tipis", menggunakan irisan pie sebagai gantinya.
Sektor tipis menyapu area
Daerah polar dijumlahkan dari sektor irisan pie tipis, masing-masing berluas $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
Rumus luas polar menjumlahkan luas dari sektor-sektor lingkaran tipis ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Setiap sektor memiliki luas $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
Memilih batas sudut
- Batas-batas $\alpha,\beta$ adalah sudut di mana kurva menyapu daerah sekali.
- Untuk satu putaran penuh kurva sederhana, itu sering kali $0$ hingga $2\pi$ — tetapi banyak kurva tertutup dalam jarak lebih pendek.
- Kelopak mawar $r=\cos(3\theta)$ disapu antara nol-nol berturut-turut dari $r$.
- Pilihlah batas yang melacak daerah tepat sekali (tanpa penghitungan ganda).
Temukan luas yang dibatasi oleh $r=2$: $\tfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta$ (sebagai kelipatan dari $\pi$, masukkan angkanya).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac12\cdot4\cdot2\pi=4\pi$.
Rumus luas polar mencakup faktor $\tfrac12$ dan mengkuadratkan $r$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$A=\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
Batas sudut $\alpha,\beta$ harus dipilih agar kurva melacak daerah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Melacak lebih dari sekali akan menghitung ganda luasnya.
Rumus polar memberikan $4\pi$ untuk $r=2$, yang cocok dengan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\pi(2)^2=4\pi$ — keduanya sesuai.
Rumusnya adalah $\tfrac12\int r^2\,d\theta$ — jangan lupa $\tfrac12$ atau kuadrat pada $r$. Dan pilihlah $\alpha,\beta$ agar kurva melacak daerah tepat sekali: melewati rentang sudut akan menyebabkan penghitungan ganda luas (misalnya, kelopak mawar penuh memerlukan sudut antara dua nilai $r=0$ berturut-turut, bukan $0$ hingga $2\pi$).
Temukan luas yang dibatasi oleh $r=2$ (lingkaran berjari-jari $2$).
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}(2)^2\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta=\dfrac12\cdot4\cdot2\pi=4\pi$.
- Ini sesuai dengan luas lingkaran yang familiar $\pi r^2=\pi(2)^2=4\pi$. ✓
Luas yang dibatasi oleh kurva polar $r=f(\theta)$ adalah $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$ — menjumlahkan sektor tipis $\frac12 r^2\,d\theta$. Pertahankan $\frac12$ dan kuadrat, serta pilihlah batas sudut agar daerah dilacak tepat sekali.