Mendefinisikan Koordinat Polar dan Membedakan dalam Bentuk Polar
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| Cartesian/kɑːˈtiːzɪən/ | Koordinat Kartesius |
| Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | Koordinat polar |
Menentukan titik berdasarkan sudut dan jarak
- Koordinat Kartesius menggunakan "kanan $x$, atas $y$." Koordinat polar menggunakan "sudut dan jarak."
- Sebuah titik adalah $(r,\theta)$: $r$ adalah seberapa jauh dari titik asal, $\theta$ adalah sudut dari sumbu $x$ positif.
- Lingkaran dan spiral yang jelek dalam $x,y$ menjadi sederhana dalam bentuk polar.
- Kurva ditulis $r=f(\theta)$ — jari-jari sebagai fungsi sudut.
Mengubah polar ⇄ Kartesius
- Polar ke Kartesius: $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.
- Kartesius ke polar: $r=\sqrt{x^2+y^2}$ dan $\tan\theta=\tfrac{y}{x}$.
- Ini berasal langsung dari trigonometri segitiga siku-siku pada titik tersebut.
- Ubah ke arah mana pun yang membuat masalah lebih mudah.
Sine dan kosinus membangun polar
$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ — koordinat polar dibangun dari dua fungsi trigonometri sudut ini.
Konversi dari polar ke Kartesius adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.
Untuk mengkonversi Kartesius ke polar, $r=\sqrt{x^2+\ \_\_\_\ }$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$r=\sqrt{x^2+y^2}$.
Kurva polar sebenarnya parametrik
- Anggap $r=f(\theta)$ sebagai kurva parametrik dengan $\theta$ sebagai parameternya:
- $x=f(\theta)\cos\theta$ dan $y=f(\theta)\sin\theta$.
- Sekarang semua mesin parametrik berlaku — termasuk kemiringan $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$.
- Jadi "mendifferensiasikan dalam polar" hanya berarti diferensiasi parametrik dengan $x,y$ ini.
Konversi $(2,\tfrac{\pi}{3})$: temukan koordinat $x$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$.
Kurva polar $r=f(\theta)$ dapat diperlakukan sebagai kurva parametrik dengan parameter...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$x=f(\theta)\cos\theta$, $y=f(\theta)\sin\theta$ dengan parameter $\theta$.
Mencari kemiringan $\tfrac{dy}{dx}$
- Hitung $\tfrac{dx}{d\theta}$ dan $\tfrac{dy}{d\theta}$ dari aturan perkalian/antai pada $f(\theta)\cos\theta$ dan $f(\theta)\sin\theta$.
- Lalu $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — kemiringan parametrik biasa.
- Peringatan: $\tfrac{dy}{dx}$ bukan $\tfrac{dr}{d\theta}$; kemiringan memerlukan derivatif $x,y$ penuh.
- Parameternya adalah $\theta$, jadi diferensiasikan ekspresi $x,y$ terhadap $\theta$.
Kemiringan $\tfrac{dy}{dx}$ dari kurva polar sama dengan $\tfrac{dr}{d\theta}$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kemiringan adalah $\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$, menggunakan turunan $x,y$.
Koordinat polar $(r,\theta)$ dan $(r,\theta+2\pi)$ menggambarkan titik yang sama.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Menambahkan satu putaran penuh kembali ke titik yang sama.
Kemiringan kurva polar adalah $\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$, bukan $\dfrac{dr}{d\theta}$. Anda harus mengubahnya ke $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ terlebih dahulu dan mendifferensiasikan itu (aturan perkalian!) terhadap $\theta$. Dan koordinat polar sebuah titik tidak unik — $(r,\theta)$ dan $(r,\theta+2\pi)$ adalah titik yang sama.
Konversikan titik polar $\big(2,\tfrac{\pi}{3}\big)$ ke Kartesius.
- $x=r\cos\theta=2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$.
- $y=r\sin\theta=2\sin\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$.
- Jadi titiknya adalah $\big(1,\sqrt3\big)$.
Koordinat polar $(r,\theta)$ memberikan titik melalui jarak dan sudut. Konversikan dengan $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ (dan kembali melalui $r=\sqrt{x^2+y^2}$). Kurva polar $r=f(\theta)$ adalah kurva parametrik dalam $\theta$, sehingga kemiringannya adalah $\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — bukan $\frac{dr}{d\theta}$.