Memecahkan Masalah Gerak Menggunakan Fungsi Parametrik dan Bernilai Vektor
DiperkenalkanGerak planar penuh, dari awal hingga akhir
- Sekarang gabungkan semuanya: partikel yang bergerak dalam bidang, dijelaskan oleh $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$.
- Diferensiasikan untuk kecepatan dan percepatan; integrasikan untuk melakukan sebaliknya.
- Hitung laju dan jarak tempuh dari komponen kecepatan.
- Pelajaran ini adalah kotak alat untuk masalah gerak planar BC apa pun.
Posisi, kecepatan, percepatan
- Posisi: $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$.
- Kecepatan: $\mathbf{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — arah gerak, tangen terhadap lintasan.
- Percepatan: $\mathbf{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$.
- Naik rantai dengan mendifferensiasikan, turun dengan mengintegrasikan menggunakan kondisi awal.
Vektor kecepatan menyinggung lintasan; magnitudnya adalah ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kecepatan = magnitud dari kecepatan.
Laju dan jarak tempuh
- Laju pada waktu $t$: $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$ — skalar.
- Jarak tempuh selama $[a,b]$: integrasikan laju, $\displaystyle\int_a^b |\mathbf{v}(t)|\,dt$.
- Itu sama dengan integral panjang busur — total panjang lintasan, tidak pernah negatif.
- Laju menjawab "seberapa cepat saat ini"; integral menjawab "seberapa jauh secara keseluruhan."
Sebuah komponen kecepatan sepanjang waktu
y = bx
Kecepatan menggabungkan komponen kecepatan; mengintegralkan kecepatan terhadap waktu memberikan total jarak yang ditempuh partikel.
Untuk $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,3\rangle$, temukan kecepatan pada $t=2$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\sqrt{4^2+3^2}=5$.
Jarak tempuh selama $[a,b]$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Integralkan kecepatan (besaran dari kecepatan).
Posisi pada waktu nanti
- Untuk menemukan di mana partikel berada pada waktu $b$: mulai dari posisi yang diketahui dan tambahkan perubahan terkumulasi.
- $x(b)=x(a)+\displaystyle\int_a^b x'(t)\,dt$, dan juga untuk $y$ — masing-masing komponen secara terpisah.
- Ini adalah "akhir = awal + perubahan terkumulasi", dilakukan per koordinat.
- Gabungkan kedua hasil menjadi vektor posisi pada waktu $b$.
Manakah dari berikut ini yang vektor (bukan skalar)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Kecepatan dan percepatan adalah vektor; kecepatan dan jarak adalah skalar.
Posisi $x$ pada waktu $b$ adalah $x(a)$ ditambah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Akhir = awal + perubahan terkumulasi dari $x$.
Jarak tempuh sama dengan magnitud dari vektor perpindahan.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Jarak adalah $\int|\mathbf{v}|\,dt$; magnitud perpindahan bisa lebih kecil.
Jaga agar vektor dan skalar tetap jelas: kecepatan dan percepatan adalah vektor (arah + ukuran); laju dan jarak adalah skalar. Jarak tempuh adalah $\int|\mathbf{v}|\,dt$ (integral laju), bukan perpindahan $\int \mathbf{v}\,dt$ atau $|\int\mathbf{v}\,dt|$. Dan temukan posisi nanti dengan menjumlahkan integral komponen ke posisi awal.
Sebuah partikel memiliki $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,\ 3\rangle$. Temukan lajunya pada $t=2$ dan susun jarak tempuh pada $[0,2]$.
- Laju pada $t=2$: $|\mathbf{v}(2)|=\sqrt{(4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5$.
- Jarak pada $[0,2]$: $\displaystyle\int_0^2\sqrt{(2t)^2+3^2}\,dt=\int_0^2\sqrt{4t^2+9}\,dt$ (evaluasi secara numerik).
Untuk gerak planar $\mathbf{r}(t)=\langle x,y\rangle$: kecepatan $\mathbf{v}=\mathbf{r}'$, percepatan $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$ (vektor); laju $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ dan jarak tempuh $\int_a^b|\mathbf{v}|\,dt$ (skalar). Temukan posisi nanti dengan menjumlahkan integral komponen dari $x',y'$ ke posisi awal.