Mengintegralkan Fungsi Bernilai Vektor
DiperkenalkanMengintegrasikan vektor, satu komponen pada satu waktu
- Menurunkan vektor bersifat komponen-wise. Mengintegrasikan vektor persis sama.
- Integralkan setiap komponen secara terpisah, dan kumpulkan hasilnya kembali menjadi vektor.
- $\displaystyle\int \langle f(t),\,g(t)\rangle\,dt = \Big\langle \int f\,dt,\ \int g\,dt\Big\rangle$.
- Ini memungkinkan Anda menjalankan gerak mundur: dari percepatan ke kecepatan, kecepatan ke posisi.
Untuk mengintegralkan $\langle f(t),g(t)\rangle$, Anda...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Integralkan komponen per komponen, ditambah vektor konstanta.
Antiturunan komponen demi komponen
- Setiap komponen mendapatkan antiturunannya masing-masing — dan konstantanya masing-masing.
- Konstanta-konstanta tersebut digabungkan menjadi vektor konstan $\mathbf{C}=\langle C_1,\,C_2\rangle$.
- Jadi integral tak tentu dari fungsi vektor itu sendiri adalah vektor (ditambah $\mathbf{C}$).
- Tidak ada yang baru untuk dipelajari — hanya terapkan integrasi variabel tunggal dua kali.
Mengintegralkan fungsi vektor memperkenalkan vektor konstanta $\mathbf{C}$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Satu konstanta per komponen, digabungkan ke dalam $\mathbf{C}$.
Setiap komponen dari integral memiliki konstanta integrasinya sendiri.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mereka bergabung menjadi vektor konstanta $\mathbf{C}$.
Kecepatan dari percepatan
- Diberikan vektor percepatan $\mathbf{a}(t)$, integralkan untuk memulihkan kecepatan:
- $\mathbf{v}(t)=\displaystyle\int \mathbf{a}(t)\,dt$, dengan vektor konstan yang ditentukan oleh kecepatan awal $\mathbf{v}(t_0)$.
- Integralkan lagi untuk posisi, menggunakan posisi awal.
- Ini adalah versi vektor dari "posisi ← kecepatan ← percepatan" melalui integrasi.
Integralkan percepatan menjadi kecepatan
y = ax² + bx
Mengintegralkan setiap komponen percepatan (ditambah konstanta) memulihkan kecepatan — kondisi awal menentukan konstantanya.
Mengintegralkan vektor percepatan memulihkan ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Percepatan diintegralkan menjadi kecepatan.
Gunakan kondisi awal untuk menemukan $\mathbf{C}$
- Setiap integrasi memperkenalkan vektor konstan yang harus Anda tentukan.
- Masukkan vektor awal yang diberikan (kecepatan atau posisi pada suatu waktu) dan selesaikan untuk $\mathbf{C}$.
- Lakukan ini per komponen: kondisi awal menetapkan baik $C_1$ maupun $C_2$.
- Kemudian tuliskan fungsi vektor yang sepenuhnya ditentukan.
Jika $\mathbf{a}(t)=\langle 2,6t\rangle$ dan $\mathbf{v}(0)=\langle 1,0\rangle$, maka $\mathbf{v}(t)=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Integralkan lalu terapkan $\mathbf{v}(0)$: $C_1=1,C_2=0$.
Untuk menentukan vektor konstanta, terapkan kondisi ____ yang diberikan.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Masukkan kecepatan atau posisi awal.
Integrasikan setiap komponen secara terpisah, dan jangan lupa vektor konstan $\mathbf{C}$ — konstanta integrasi untuk setiap komponen. Gunakan kondisi awal (kecepatan atau posisi pada waktu tertentu) untuk menyelesaikan $\mathbf{C}$ komponen demi komponen sebelum melaporkan jawaban.
Jika $\mathbf{a}(t)=\langle 2,\ 6t\rangle$ dan $\mathbf{v}(0)=\langle 1,\ 0\rangle$, temukan $\mathbf{v}(t)$.
- Integralkan: $\mathbf{v}(t)=\langle 2t+C_1,\ 3t^2+C_2\rangle$.
- Terapkan $\mathbf{v}(0)=\langle 1,0\rangle$: $C_1=1$, $C_2=0$.
- $\mathbf{v}(t)=\langle 2t+1,\ 3t^2\rangle$.
Integrasikan fungsi bernilai vektor komponen demi komponen: $\int\langle f,g\rangle\,dt=\langle\int f\,dt,\int g\,dt\rangle$, ditambah vektor konstan $\mathbf{C}$. Integrasikan percepatan untuk mendapatkan kecepatan (dan sekali lagi untuk posisi), menggunakan kondisi awal untuk menyelesaikan $\mathbf{C}$ di setiap komponen.