Mendefinisikan dan Menurunkan Fungsi Bernilai Vektor
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/ | Fungsi bernilai vektor |
Mengemas gerak menjadi satu panah
- Kurva parametrik memberikan $x(t)$ dan $y(t)$ secara terpisah. Kumpulkan mereka menjadi satu objek: fungsi bernilai vektor.
- $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ adalah vektor posisi — sebuah panah dari titik asal menuju titik yang bergerak.
- Ini menggambarkan gerak planar secara ringkas, melacak kedua koordinat sekaligus.
- Semua hal dari kurva parametrik muncul kembali di sini, dalam bentuk vektor.
Lintasan yang dilacak oleh r(t)
y = ax² + bx
Vektor posisi $\mathbf{r}(t)$ menunjuk ke partikel yang bergerak; turunannya (komponen per komponen) adalah vektor kecepatan.
Turunkan komponen demi komponen
- Untuk menurunkan fungsi bernilai vektor, cukup turunkan setiap komponen secara terpisah:
-
$$\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$$
- Tidak ada aturan baru — turunan dari vektor adalah vektor dari turunannya.
- $\mathbf{r}'(t)$ adalah vektor kecepatan, mengarah ke arah gerak.
Untuk menurunkan $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$, Anda...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$.
Vektor kecepatan dan percepatan
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — vektor kecepatan.
- $\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$ — vektor percepatan.
- Masing-masing ditemukan dengan menurunkan komponen-komponennya lagi.
- Vektor kecepatan menyinggung lintasan; panjangnya adalah kecepatan.
Untuk $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\sin t\rangle$, kecepatan $\mathbf{v}(t)=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Turunkan setiap komponen.
Vektor percepatan adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Turunkan posisi dua kali: $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$.
Kecepatan adalah besaran dari kecepatan
- Kecepatan bukan vektor — ia adalah besaran $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$.
- Itu adalah integrand kecepatan yang sama dengan panjang busur parametrik.
- Jadi vektor kecepatan membawa arah dan ukuran; kecepatan hanyalah ukurannya.
- Turunkan untuk berpindah dari posisi → kecepatan → percepatan, komponen demi komponen.
Untuk $\mathbf{v}(0)=\langle 0,1\rangle$, temukan kecepatan $|\mathbf{v}(0)|$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\sqrt{0^2+1^2}=1$.
Kecepatan adalah vektor, sama dengan kecepatan.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kecepatan adalah besaran skalar $|\mathbf{v}|$.
Kecepatan sama dengan ____ dari vektor kecepatan.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$.
Turunkan vektor komponen demi komponen — jangan mencoba menurunkan "vektor utuh" sebagai satu ekspresi berantakan. Dan pertahankan kecepatan (vektor) berbeda dari kecepatan (besarannya, skalar): $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$, jangan hanya $x'+y'$.
Untuk $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\ \sin t\rangle$, temukan $\mathbf{v}(t)$ dan kecepatan pada $t=0$.
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle 2t,\ \cos t\rangle$.
- Pada $t=0$: $\mathbf{v}(0)=\langle 0,\ 1\rangle$.
- Kecepatan $=|\mathbf{v}(0)|=\sqrt{0^2+1^2}=1$.
Sebuah fungsi bernilai vektor $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ menggambarkan gerak planar. Turunkan komponen demi komponen: $\mathbf{v}=\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$ (kecepatan), $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$ (percepatan). Kecepatan adalah besaran $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ — skalar, berbeda dari vektor kecepatan.