Menemukan Panjang Busur Kurva yang Diberikan oleh Persamaan Parametrik
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| arc length/ɑːk leŋθ/ | Panjang busur |
| speed/spiːd/ | kecepatan |
Seberapa jauh titik parametrik bergerak
- Titik parametrik $\big(x(t),y(t)\big)$ bergerak melintasi bidang. Berapa panjang lintasan yang dilukisnya?
- Itu adalah panjang busur dari kurva parametrik, dari $t=a$ hingga $t=b$.
- Setiap langkah waktu kecil menggerakkan titik sejauh $dx=\tfrac{dx}{dt}\,dt$ secara horizontal dan $dy=\tfrac{dy}{dt}\,dt$ secara vertikal.
- Jumlahkan hipotenusa-hipotenusa kecil tersebut untuk mendapatkan panjang total.
Rumus
- Panjang langkah kecilnya adalah $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$.
- Mengintegrasikan selama interval waktu:
-
$$L=\int_a^b \sqrt{\Big(\tfrac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\tfrac{dy}{dt}\Big)^2}\,dt$$
- Kedua turunan komponen dikuadratkan, dijumlahkan, akar kuadratnya diambil, dan diintegrasikan dalam $t$.
Panjang busur kurva parametrik adalah $\int_a^b(\ ?\ )\,dt$ di mana integran adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kedua turunan dikuadratkan, dijumlahkan, di bawah akar.
Untuk $x=t^2$, $y=t^3$: $(dx/dt)^2+(dy/dt)^2=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$(2t)^2+(3t^2)^2=4t^2+9t^4$.
Integran adalah kecepatan
- $\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}$ adalah tepat kecepatan dari titik yang bergerak.
- Kecepatan adalah jarak per satuan waktu; mengintegralkan kecepatan terhadap waktu memberikan jarak total.
- Jadi panjang busur = integral dari kecepatan — versi parametrik dari "jarak = ∫ kecepatan dt."
- Hal ini terhubung langsung dengan masalah gerak (pelajaran 9.6).
Panjang adalah integral dari kecepatan
y = ax^{1.5}
Integran panjang busur parametrik adalah kecepatan titik — mengintegralkan kecepatan terhadap waktu memberikan jarak tempuh.
Integran panjang busur parametrik sama dengan ____ titik tersebut.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Integral kecepatan = jarak.
Panjang busur parametrik adalah integral yang sama yang digunakan untuk partikel...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Integral kecepatan = jarak tempuh.
Menyiapkannya dalam praktik
- Hitung $\tfrac{dx}{dt}$ dan $\tfrac{dy}{dt}$, kuadratkan dan jumlahkan, ambil akarnya.
- Integralkan dari awal $t$ hingga akhir $t$ (interval $t$, bukan $x$ atau $y$).
- Banyak integral ini memerlukan kalkulator; penyiapannya adalah keterampilan yang dinilai.
- Pertahankan kedua turunan — melewatkan salah satu akan menghilangkan gerak diagonal.
Batas integrasi untuk panjang busur parametrik adalah nilai $t$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Integralkan selama interval waktu.
Anda dapat melewatkan $\tfrac{dy}{dt}$ jika $\tfrac{dx}{dt}$ lebih besar.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kedua turunan diperlukan untuk gerak diagonal.
Batas-batasnya adalah nilai-$t$ (interval waktu), dan keduanya $\tfrac{dx}{dt}$ dan $\tfrac{dy}{dt}$ muncul, masing-masing dikuadratkan di bawah akar. Jangan gunakan batas-$x$, dan jangan lupa salah satu dari dua turunan. Ini adalah "integral kecepatan" yang sama seperti jarak tempuh — bukan besaran bertanda, sehingga tidak perlu nilai mutlak (akar sudah selalu $\ge0$).
Temukan panjang $x=t^2,\ y=t^3$ untuk $0\le t\le 1$.
- $\tfrac{dx}{dt}=2t$, $\tfrac{dy}{dt}=3t^2$; jumlah kuadrat $=4t^2+9t^4=t^2(4+9t^2)$.
- $L=\displaystyle\int_0^1 \sqrt{t^2(4+9t^2)}\,dt=\int_0^1 t\sqrt{4+9t^2}\,dt$.
- Substitusi $u$-$u=4+9t^2$: $=\tfrac{1}{27}\big(13^{3/2}-8\big)\approx1.44$.
Panjang busur dari kurva parametrik adalah $L=\int_a^b\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$ atas interval $t$. Integran adalah kecepatan titik, jadi ini adalah integral kecepatan = jarak tempuh. Kuadratkan kedua turunan komponen di bawah satu akar.