Panjang Busur Kurva Halus Planar dan Jarak Tempuh
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| Arc length/ɑːk leŋθ/ | Panjang busur |
Mengukur panjang kurva
- Luas dan volume adalah integral; begitu pula panjang kurva itu sendiri.
- Panjang busur menjumlahkan panjang potongan-potongan lurus kecil sepanjang kurva.
- Pada setiap potongan kecil, kurva hampir berupa garis lurus — hipotenusa segitiga siku-siku kecil.
- Jumlahkan hipotenusa-hipotenusa tersebut (integralkan) untuk mendapatkan panjang total.
Dari segitiga kecil hingga rumus
- Potongan kecil memiliki lompatan horizontal $dx$ dan kenaikan vertikal $dy=f'(x)\,dx$.
- Panjangnya adalah $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ (Pythagoras).
- Jumlahkan dari $a$ hingga $b$:
-
$$L=\int_a^b \sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$$
Kurva lebih panjang dari talinya
y = a·x^{1.5}
Panjang busur menjumlahkan hipotenusa kecil $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$ — selalu setidaknya jarak horizontal $b-a$.
Panjang busur dari $y=f(x)$ pada $[a,b]$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kuadratkan turunannya, tambahkan 1, akarkan hasilnya.
Menggunakan rumus
- Hitung $f'(x)$, kuadratkan, tambahkan $1$, ambil akar kuadrat, lalu integralkan atas $[a,b]$.
- Integran selalu $\ge1$, sehingga panjang busur setidaknya sama dengan jarak horizontal $b-a$ (kurva lebih panjang daripada garis lurus).
- Banyak integral panjang busur sulit dikerjakan secara manual; pada ujian BC Anda sering kali hanya menyusunnya dan mengevaluasinya secara numerik.
- Keterampilan utamanya adalah membangun integran yang benar dari $f'$.
Untuk $y=\tfrac23 x^{3/2}$, $f'(x)=x^{1/2}$. Integran panjang busur adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$(f')^2=x$, sehingga $\sqrt{1+x}$.
Evaluasi $\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx$ (desimal).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}\approx4.667$.
Karena integran adalah $\ge 1$, panjang busur selalu setidaknya...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kurva setidaknya sepanjang lintasan lurus.
Panjang busur sebagai jarak tempuh
- Jika partikel bergerak sepanjang $y=f(x)$, panjang busur adalah jarak yang ditempuhnya sepanjang lintasan.
- (Untuk gerakan yang diberikan oleh $x(t),y(t)$, versi parametrik muncul dalam pelajaran 9.3.)
- Jadi integral yang sama ini mengukur baik panjang geometris kurva maupun jarak yang ditempuh sepanjang lintasan.
- Penyusunannya identik; hanya interpretasinya yang berubah.
Integran panjang busur menggunakan turunan $f'(x)$, bukan $f(x)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Itu adalah $\sqrt{1+(f'(x))^2}$.
Sepanjang lintasan $y=f(x)$, panjang busur juga mengukur ____ yang ditempuh.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Panjang busur = jarak tempuh sepanjang lintasan.
Integran adalah $\sqrt{1+(f'(x))^2}$ — turunan dikuadratkan, dan terdapat $\boldsymbol{+1}$ di dalam akar, bukan di luar. Jangan menulis $\sqrt{1+f(x)^2}$ (menggunakan $f$ alih-alih $f'$) atau lupa $+1$. Dan seluruhnya berada di bawah satu akar kuadrat sebelum diintegralkan.
Susunlah panjang busur dari $y=\tfrac23 x^{3/2}$ dari $x=0$ hingga $x=3$.
- $f'(x)=x^{1/2}$, sehingga $\big(f'(x)\big)^2=x$.
- $L=\displaystyle\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx=\Big[\tfrac23(1+x)^{3/2}\Big]_0^3=\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}$.
Panjang busur dari $y=f(x)$ pada $[a,b]$ adalah $L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ — menjumlahkan hipotenusa-hipotenusa kecil $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$. Kuadratkan turunan, tambahkan $1$ ke dalam akar, integralkan. Ini juga memberikan jarak yang ditempuh sepanjang lintasan.