Mendefinisikan dan Mendiferensiasikan Persamaan Parametrik
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | Persamaan parametrik |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | Parameter |
Kurva yang dilacak oleh titik bergerak
- Daripada $y=f(x)$, deskripsikan kurva dengan memberikan $x$ dan $y$ masing-masing sebagai fungsi dari variabel ketiga.
- Ini adalah persamaan parametrik: $x=f(t)$ dan $y=g(t)$, dengan parameter $t$.
- Anggap $t$ sebagai waktu: saat $t$ berjalan, titik $\big(x(t),y(t)\big)$ melacak kurva.
- Hal ini memungkinkan Anda menggambar loop dan peregangan vertikal yang tidak dapat dilakukan oleh satu $y=f(x)$ tunggal.
Kurva yang dilacak oleh parameter
y = ax³ + bx
Persamaan parametrik memungkinkan titik melintasi kurva — lingkaran dan peregangan vertikal yang tidak bisa digambar oleh satu $y=f(x)$ saja.
Dalam $x=f(t)$, $y=g(t)$, variabel $t$ disebut ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Parameter menggerakkan kedua koordinat.
Parameter menggerakkan kedua koordinat
- Pada setiap $t$, masukkan ke kedua persamaan untuk mendapatkan titik $\big(x(t),y(t)\big)$.
- Kurva adalah lintasan yang disapu saat $t$ meningkat — dengan arah pergerakan.
- Contoh: $x=\cos t,\ y=\sin t$ melacak lingkaran satuan berlawanan arah jarum jam.
- Menghilangkan $t$ (ketika memungkinkan) mengembalikan hubungan antara $x$ dan $y$.
Persamaan parametrik mana yang melacak lingkaran satuan?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\cos^2 t+\sin^2 t=1$ melacak lingkaran satuan.
Kemiringan $\tfrac{dy}{dx}$ dari turunan dalam $t$
- Untuk menemukan kemiringan kurva, turunkan setiap koordinat dalam $t$ dan bagi:
-
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$$
- Baik $\tfrac{dy}{dt}$ maupun $\tfrac{dx}{dt}$ berasal dari dua persamaan; rasio mereka adalah kemiringan.
- (Ini adalah aturan rantai: $\tfrac{dy}{dt}=\tfrac{dy}{dx}\cdot\tfrac{dx}{dt}$, disusun ulang.)
Untuk kurva parametrik, $\dfrac{dy}{dx}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Atas dibagi bawah: $\frac{dy/dt}{dx/dt}$.
Untuk $x=t^2$, $y=t^3$, $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{2}$. Temukan kemiringan pada $t=2$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{3(2)}{2}=3$.
Garis singgung horizontal dan vertikal
- Garis singgung horizontal: $\tfrac{dy}{dt}=0$ (dan $\tfrac{dx}{dt}\neq0$) — kemiringannya adalah $0$.
- Garis singgung vertikal: $\tfrac{dx}{dt}=0$ (dan $\tfrac{dy}{dt}\neq0$) — kemiringannya tidak terdefinisi.
- Keduanya berasal langsung dari dua turunan komponen.
- Jadi $\tfrac{dy}{dt}$ dan $\tfrac{dx}{dt}$ yang sama memberikan baik kemiringan maupun kasus-kasus khusus.
Kurva parametrik memiliki tangen horizontal di mana...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Horizontal ⇔ kemiringan $0$ ⇔ $\tfrac{dy}{dt}=0$.
Tangen vertikal terjadi di mana $\dfrac{dx}{dt}=$ ____ (dan $\tfrac{dy}{dt}\neq0$).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nol $\tfrac{dx}{dt}$ → kemiringan tidak terdefinisi → vertikal.
Kemiringan adalah $\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ — sebuah rasio dari dua turunan, bukan $\dfrac{d}{dt}\big[\tfrac yx\big]$ atau $\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dx}{dt}$. Dan ia adalah atas dibagi bawah: $\tfrac{dy}{dt}$ dibagi dengan $\tfrac{dx}{dt}$. Menukar posisi mereka akan membalikkan kemiringan.
Untuk $x=t^2,\ y=t^3$, temukan $\dfrac{dy}{dx}$ pada $t=2$.
- $\dfrac{dx}{dt}=2t$, $\dfrac{dy}{dt}=3t^2$.
- $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2}{2t}=\dfrac{3t}{2}$.
- Pada $t=2$: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3(2)}{2}=3$.
Persamaan parametrik $x=f(t)$, $y=g(t)$ melacak kurva saat parameter $t$ bervariasi. Kemiringannya adalah $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ (atas dibagi bawah). Garis singgung horizontal memiliki $\frac{dy}{dt}=0$; garis singgung vertikal memiliki $\frac{dx}{dt}=0$.